Ⅰ 概率基础6：凯利公式——如何下注更容易赚钱
在投资领域，其实就两个问题，买什么和买多少。凯利公式解决的就是买多少的问题。
假设现在有一个简单的赌局，抛硬币，正面你赢得2元，反面你输1元。你手上有100元应该怎么下注？
这就需要用到凯利公式：
f = (bp-q)/b
f 下注比例；b代表赔率；p代表胜率；q代表败率。
看不懂没关系，含义很简单。
下注比例 = 期望回报率/赔率
期望回报率 = 赔率*赢的概率 - 输的概率
比如上面这个例子
期望回报率：
=0.5*2 - 0.5*1=0.5
赔率 = 赢的金额/输的金额=2
所以，下注比例 = 0.25 = 25%
下注金额应该是25元。
再来看之前《期望和方差》中提到的一个问题。
一场赌局，赢的收益是100元，概率是50%，输的损失是80元，概率是50%。应不应该参与？
之前算过期望：E=100*50% - 80*50%=10元。可以参与。 但是如果可以自由下注，应该投多少呢？这就可以用凯利公式来计算。
下注比例 = 期望回报率/赔率
赔率 = 1.25
期望回报率 = 1.25*0.5 - 0.5 = 0.125
下注比例 = 0.125/1.25 = 10%
投注比例是10%，也就是说假设你有100元，你投注的金额也应该是10元，而不是一次把100元全丢进去。
凯利公式已经在华尔街得到验证，除了在赌场被奉为BOSS，也被称为“资金管理神器”，是比尔格罗斯等投资大佬的心头爱，巴菲特依靠这个公式也赚了不少钱。
根据这个公式：
1、期望值（bp-q）为0时，赌局为公平游戏，这时不应下任何赌注。
2、期望值（bp-q）为负时，赌徒不具备任何优势，也不应下任何赌注。
3、期望值（bp-q）为正时，这时按照凯利公式投注赚钱最快，风险最小。
最终结论其实也很简单，当期望为正的时候，才可以下注，而下注多少可以根据期望和赔率来计算。
Ⅱ 怎样利用凯利公式玩压大小
进行掷骰子的实验，然后进行正态分布的检验，图形化理解标准差等概念。
每次掷骰子的可能结果是在[1,6]的范围内的，进行10000次尝试，每次投10000次。
为什么要检验正态分布，因为在频谱派的统计概率分析中，大多数情况都是基于全概率分析，并假设全概率是正态分布的情况下的。
因此当你想对一组数据进行频谱派的概率分析，你优先需要，对基础数据进行分析，并得到正态分布这个前提。
举个例子：股价往往是非正太分布的，因为它并没有一个全概率的范围。但是股票（中国）的收益率是有范围的，范围区间是[-10, 10]之内，而且往往是正态分布的，既然是正态分布的，那么我们就能做很多有趣的概率实验了。
Ⅲ 战胜一切市场的人
《战胜一切市场的人》 | 于利强解读
《战胜一切市场的人》 | 于利强解读
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关于作者
爱德华·索普本身是一名数学家，但他最为人称道的成就却是在赌博和投资领域。他是横扫拉斯维加斯各大赌场的赌神，也是量化投资的教父级人物，彻底改变了全球证券投资行业。
关于本书
这是爱德华·索普的回忆录。在这个看似不理性的世界里，索普始终理性思考，从校园、到赌场、再到华尔街，全都是大赢家。他证明，赌博、投资，甚至生活中的各种问题，都可以简化为科学问题，只要通过一套简易的算法就可以破解。索普在书中揭秘了自己的解题过程和思维模型，这些模型将会帮你在人生各种难题面前，更聪明地思考和决策。
核心内容
不管是赌场还是股市，都有个主流观点，就是你没法战胜庄家和市场。如果你做投资，业绩还不错，大概率只能算运气还不错。但只有找到有统计学意义的优势并能重复获利，才称得上“战胜市场”。那么这可能做到吗？如果能，那应该怎么做？其中要用到哪些思维模型？
本期音频，会通过三个问题的解答过程，带你了解索普的思维模型。
一、怎样才能击败赌场？
二、怎么才能战胜市场？
三、怎样进行风险管理？
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你好，欢迎每天听本书，本期音频解读的书是《战胜一切市场的人》。这本书是爱德华·索普的自传。索普本身是一名数学家，但他最为人称道的成就却是在赌博和投资领域。他是横扫拉斯维加斯各大赌场的赌神，也是量化投资的教父级人物，改变了证券投资业的格局。
不管是赌场还是股市，都有个主流观点，就是你没法战胜庄家和市场。注意了，业绩优于市场与战胜市场不是一回事。业绩好可能只是因为运气好，只有找到有统计学意义的优势并能重复获利，才叫战胜市场。所以，如果你做投资，业绩还不错，大概率只能算运气还不错，不一定就算战胜市场。
但是本书的传主、也是本书作者，爱德华·索普认为，赌博和投资，都可以简化为科学问题，更准确地说，是数学问题。他用数学的方法证明，玩家可以击败庄家，投资者也可以击败市场。他在理论上证明后，又一一实践验证：他先是在赌城拉斯维加斯大杀四方，赢了一大笔钱，还把方法公布于众，成千上万的赌客用索普的方法去赌城淘金，迫使赌场不得不修改规则。随后，他又成功运营了一个对冲基金，获得的投资收益堪比股神巴菲特，而且29年的职业生涯中没有一年是亏损的，这点巴菲特都没做到。
正因如此，索普敢说自己是“战胜一切市场的人”。他总结出来的思维模型和方法，不仅可以用在赌博和投资领域，在人生的其他领域也同样能用得上。
本期音频，我会通过三个问题，带你了解索普的思维模型。
第一个问题，怎样才能击败赌场？
第二个问题，怎么才能战胜市场？
第三个问题，怎样进行风险管理？
第一部分
我们先来看索普是怎么击败赌场的。
很多科学家都注重研究理论，不太注重理论的应用。但是索普不一样，他研究理论，但更关心用理论来解决实际问题。
索普从小就聪明过人，最感兴趣的是做各种化学实验，十几岁就自己配炸药玩。他家境贫寒，为了能上大学，通过几个月时间自学，就得了全国物理竞赛第一名，拿下了大学奖学金。他读完物理学的本科和硕士，又继续攻读物理学博士。因为写论文要用到很多数学知识，索普在自学数学的时候兴趣再次转向，转而拿下了数学博士，并一路成为了数学教授。
大学教学之余，索普热衷于研究实际的数学问题，尤其是跟概率相关的赌博问题。他中学时，就听到过这么一个说法，玩家不可能战胜赌场，因为从概率来说，赌场长期是稳赢的。所有赌局的概率设计，赌场一方获胜的概率要略大于50%，比玩家高几个百分点。只要你一直玩，赌场就能最终把你的钱赚走。
历史上也有很多着名的数学家，都热衷于研究赌博游戏中的概率问题。但在索普之前，这些数学家的结论也基本都是，你不可能击败庄家。
但索普这个人有个特点，别人说的不作数，可不可能，得自己试过才知道。研究了一圈赌博项目，索普发现，所有赌场游戏中庄家优势最少的、对玩家最友好的，是一个叫21点的游戏。但这个游戏中，庄家的胜率还是比玩家略高。
21点的规则说起来真的很简单：每个人先拿到两张牌，然后选择继续要牌还是不要。手中的牌点数相加，玩家尽量让自己手上的牌接近21点，21点最大，但不能超过21点，超过就“爆牌”出局了。
他通过研究这个规则就发现，玩家获胜的概率不固定，而是随着发牌而发生变化。一副扑克陆续发牌，如果先出小牌，那么在剩下的牌堆里大牌较多，而大牌多对庄家不利。因为规则是玩家可以随时停止要牌，但庄家在17点以下，则必须继续要牌。剩下的大牌越多，庄家越可能爆牌，赌客的胜率就越高。
这还是1959年，索普利用当时运算能力还极其有限的IBM大型电脑，推演了所有情况下的概率分布，发现玩家比庄家的胜率最高能多5个百分点。理论上，只有在胜率高过庄家的时候才下注，那就一定能击败庄家。
但是要去实战，只算出理论概率显然是不够的。赌场不允许你带电脑，也不允许你拖延时间，玩家只能凭借自己的大脑来快速算牌。索普将这个问题进一步简化，并得出了一个简便易行的算牌方法，叫“高低法”。我简单给你介绍一下：低牌是2、3、4、5、6，算加1；中牌是7、8、9，算0；高牌是10、J、Q、K、A，算减1，总分加起来，结果越大，就表示前面出现过的小牌越多，剩下的牌对玩家越有利。
索普研究出致胜策略后，就跑去拉斯维加斯的赌场小试牛刀，证明策略可行，随后他居然发表了论文，也引来了媒体关注。但这时，其实大部分人并不相信真的有击败庄家的方法，不仅有媒体质疑，赌场也来嘲笑索普只是个书呆子。
但随后赌场就笑不起来了。索普拿着1万美元，来到“赌城”拉斯维加斯，只用了30个小时，就赚了一倍多。这在当时已经算是比较大的金额，引起了赌场的注意。赌场开始用各种方法刁难他，比如增加洗牌的频率，更换扑克牌，不卖大额筹码给他，甚至还派上了作弊的发牌手。尽管有这样那样的干扰，索普仍然能赢钱。最后赌场使出杀手锏，封杀这位常胜将军，请你出去，别在我这里赌了。索普陆续登上了多家赌场的黑名单。
但赌场的噩梦才刚刚开始。索普随后写了一本书，揭秘自己的21点致胜策略，书名就叫《击败庄家》。这本书在1962年出版后，迅速成为畅销书。成千上万的算牌玩家用索普的方法去拉斯维加斯，只玩21点，这动摇了赌场的根基。赌场大佬们开会，有人提出直接做掉索普，但最后他们还是选择了更文明的方式，修改游戏规则，重新掌握概率优势。
之后索普乔装改扮，陆续去过多次赌场。但连续赢钱的他，总是免不了逃脱赌场的重点关照。他在书中记录了两次惊险的经历：一次是连续赢钱之后，喝了赌场送的酒水，出现了中毒症状；另一次是在回程途中，下坡路上，车速高达100多迈，刹车失灵，差点翻车。
赢钱当然很好，但要冒着生命危险，这就不值得了。索普本人仍然是个数学教授，还要上课搞科研，于是放弃了赌博，况且策略得到充分验证，他已经心满意足了。
除了21点，索普还用数学方法去研究了其他赌博游戏。比如轮盘赌，去猜轮盘上转动的小球会最后停在哪个数字格里。
轮盘赌本来是个纯粹的赌博游戏，赌场占据绝对的概率优势。但是索普认为，小球从高处下落，最终停止运动，这其实是一个物理问题啊，只要能记录小球的运动轨迹和速度，就能算出落到哪个区域。
索普跟同事克劳德·香农，就是那位“信息论之父”，两位科学家合作研发了人类历史上第一台可穿戴电脑。这个电脑只有香烟盒大小，被嵌在鞋里，脚指头控制按键，电脑会计算出轮盘赌小球的轨迹，给出预测的结果。这个设备他们带到赌场去实战过，证明可行，但是碍于当时的技术、设备不成熟，比较容易出故障，就收起来了。
顺便说一下，与索普合作的香农教授，是信息论及通信理论的奠基人，电脑中的二进制应用就是由他提出的。香农和索普一样，是个非常有意思的科学家，每天听本书还解读了《香农传》，解析了香农的思维方式，推荐你找来听听。
我们简单总结一下第一部分的内容。索普运用概率思维，成功地破解了21点的秘密，实现了统计学意义上的击败庄家。
同时我们也知道了，赌场也在不断地打补丁、修bug，重新确立概率优势。总体来说，对于绝大多数人来说，要想不输给赌场，最好的选择就是不赌。
第二部分
击败赌场之后，索普的兴趣开始转向，那就是金融市场。
有人说股市就是赌场，这个话虽然不一定对，但投资和赌博确实有相通的地方。两者都基于数学和概率分析，都需要平衡风险和收益，都需要管理仓位，都需要高度的理性。某种程度上来说，赌博就是简化版的投资。既然在赌场这个博弈市场中可能通过数学获胜，那在华尔街这个世界上最大的博弈市场中，数学家还能取胜吗？
索普初次接触金融投资的经历并不美好。他一边继续教学工作，一边把在赌场打牌和出书挣的钱投入了股市。但就像大多数散户一样，他主要是看报纸听专家选股票，也像很多散户一样，很快就亏掉了一半钱。痛定思痛，索普重新思考这个问题，怎么样才能投资成功、实现统计学意义上的战胜市场？
经济学界盛行一套理论，叫有效市场论。这个理论认为，市场能充分反映所有已知的信息，股价也能立即反映所有新的信息，市场上的任何投资优势都是有限、微小并且短暂的。结论就是，除了少数幸运儿，投资者无法战胜市场平均收益；想要高收益，只能承担高风险。
但对于索普来说，“市场无法战胜”这种说法，同样需要自己来试一试。他这次仍然用的是数学方法。
索普的思路是这样的：选股票，需要研究公司基本面、消息面、技术面，还需要看宏观微观经济，这些我都不擅长。那我擅长什么呢？当然是数学。那投资有没有可能变成一个纯粹的数学问题？有没有办法既不用选股，又能抵御股市大起大落的风险，还能获得满意的回报呢？
答案就是两个字：对冲。对冲是指，你预测到某种风险的存在，就用另一种方式去抵消和降低这种风险。棺材铺卖药，死活都赚钱，这就是一种对冲。
金融投资中的风险对冲，就是用一项投资去降低另一种投资的风险。一般来说，这两种投资需要相关度比较高，才能有效对冲掉风险。举个例子，如果你要选股票，通用汽车和可口可乐两家公司，差异性很大，遇到的风险也不同，这两者之间很难做对冲交易。但如果一个是可口可乐，另一个是百事可乐，两家公司面对的外部风险非常类似，你就只要判断在同等外部环境下，哪个公司更好，然后买入好的那个，卖空差的那个，就能对冲掉大部分外部风险。
而索普的策略把这种风险对冲做到了极致，根本不用选公司。他只要找同一个公司发行的不同证券产品。这两个产品高度趋同，同涨同跌，但是定价又有差价。这相当于同一个东西，在两个地方，换了两个名字，就卖出了两种价格。有了这两种产品，一边买入便宜的那个，另一边做空贵的那个。随着时间的变化，市场长期来说还是会有效，越来越多的人发现了这种定价错误，资金像水一样，会从高处流向低处。两者间的差价逐渐消失，投资者就可以收获利润。
索普用这种方法，对美国电话电报公司AT＆T的新旧两种股票进行了交易，大赚了一笔。当时，通信巨头AT&T公司将要分拆，成为一个“新的”AT&T公司和7个“子公司”，原股东会收到新的8家公司的股票。但市场不喜欢老公司、更追捧新公司，所以同等的旧股票价格比新股票要低。索普于是借了一大笔钱买了原AT&T公司500万股股票，同时做空相应数量的8家新公司股票。这是笔稳赚不赔的买卖，索普因此轻松赚到了160万美元。
这种投资策略跟股市是否涨跌并没什么关系，所以被称为是“市场中性”的策略。而事实上也确实如此。索普在29年中没有一年是亏损的，包括几次大股灾，投资年均复合收益率堪比巴菲特。
当然，这个策略最大的难点在于，你得知道这两种证券的定价，才能判断它们之间有没有机会。
比如最常出现的机会是在股票和期权之间。期权就是一张合约，有了它，你就有权在某个时间段里，以某个固定的价格，买入或卖出一种资产。比如股票期权，就类似赌未来股价的一张彩票，跟股价同涨同跌，走势完全相同。
但是做对冲交易之前，你必须知道这个彩票实际值多少钱。这又是一个数学问题。经过一番计算，索普找到了这个彩票定价公式。经过计算，索普发现市场上存在大量定价错误的期权，只要有效利用它们，就能战胜市场。这种借助数学的方法，从海量数据中寻找投资机会的投资方式，就是我们经常听到的“量化投资”。在《击败庄家》后，索普又写了本书叫《击败市场》，这本书是量化投资的开山之作，也成为有史以来最有影响力的投资指南之一。
后来，索普仿照巴菲特的模式，建立了全球第一家采用量化投资策略的对冲基金。如今，量化投资已经是全球证券投资市场最重要的几大派别之一。作为量化投资理论和实践的先驱，索普彻底改变了证券投资行业。
索普后来又进一步完善了期权的定价方法，但他这次没有公开，而是留下来闷声发大财。后来，有另外三位数学家受索普的书启发，也发现了这个期权定价公式，公开发表后，因此获得诺贝尔经济学奖。错过诺奖的索普并不后悔，选择本来就有得有失。
从1969年成立，到1988年意外关闭，索普管理的两支基金，在19年里的总回报率分别为27倍和15倍，年化平均回报率分别为18.8%和15.1%。作为对比，同期标准普尔指数上涨了5倍，年均增长率为10.2%。他的收益是远远跑赢标普指数的。在这19年期间，分别发生了1973年第一次中东石油危机，1979年第二次中东石油危机，还有历史上单日跌幅最惨重的1987年黑色星期一股灾，但是索普管理的基金从来没有一个季度发生过亏损，更没有年度亏损。索普再次证明，自己可以击败市场。
总结一下第二部分内容，索普使用风险对冲的策略，击败了市场，在风险极低的情况下，取得了高额投资回报。
不过索普的经历，也证明了市场在一定程度上确实有效。同样的投资策略会被越来越多的人发现和使用，投资收益率会逐渐降低，并趋近于市场平均水平。长期来说，击败市场还是很难的。索普也建议普通投资者，买指数基金，跟上市场平均收益，就能战胜大部分人了。
第三部分
在本书的最后几章，索普给普通投资者提了很多建议，我认为其中最重要的，就是他风险管理的方法。
索普本人极度厌恶风险。你别看他去拉斯维加斯赌博，后来又在华尔街管理资金，动不动就是几亿美元的大手笔。但他都是基于理性分析的稳赢策略，对于他来说，赌博和投资都不是运气游戏，而是一种科学实验，风险都很低。
作为数学家，索普的优势是能在理论上推导出最优的策略。但实践和理论之间还有一道鸿沟，就是现实的不确定性。输的概率虽然低，但输了之后结果会很严重。
20世纪60年代初，索普做了一笔白银投资。当时他预计到白银价格会大幅上升。在银行的建议下，他借钱买入白银。随后白银果然持续上涨，索普短期内赚了很大一笔钱，但这笔钱并没有收进。在随后白银短期的波动，价格下跌达到1/3，在杠杆的作用下，亏损超过了本金，索普爆仓了，这笔投资全部亏光。这件事情，让索普在之后的50年职业生涯，始终把风险管理当做最主要的事。
判断对了，但是却亏光了钱。问题出在哪里？对于赌徒和投资者来说，如果投资策略没问题，那主要的关键就是怎么下注，或者叫仓位管理，这也是风险管理的核心问题。
赌注太小，赢得不够；赌注太大，随时爆仓。一旦输光，即使遇到100%能赢的机会，也没法再翻盘了。
那有没有一种最佳的下注策略呢？既能获得比较高的收益，又不用冒太大的风险。
还真的有。在共同完善21点赌博策略时，索普经香农教授提醒，了解到了凯利公式。
凯利公式的发现者是物理学家约翰·凯利，这是一个关于如何下注的策略。这个公式是这样的：下注比例 = 胜率/赔率。胜率是你能比庄家多的优势；赔率是每1块钱的预期收益。根据凯利公式，你只要计算出赔率，计算出获胜的概率，那么你就能知道要拿当前资金的多少比例去下注。
索普就是这么玩的。他带着1万美金，去拉斯维加斯。胜率不利时按赌场的最小下注额下注，胜率有利时增加下注，最大下注500美元，也就是总金额的5%。在赌场，赢的人总是迷信手气而加大赌注，输的人则期望下一把翻本。可索普不相信手气，只相信数学，始终坚持用凯利公式下注。这是他每次都能赢钱的秘密。数学证明，根据凯利公式下注，有两大好处：一是在长期中能获得最高的复利增长率；二是永远不会输掉全部本金。
凯利公式这么重要，但在本书中，索普甚至没有在正文中列出凯利公式的方程式。我推测，这是因为公式背后的思维方式比公式本身更加重要。在生活中，概率和赔率并不可能像赌桌上那么清楚，但你可以通过凯利公式的两条原则，提升决策的有效性：
第一，根据胜率和赔率下注，胜率越大、风险越小，赌注越大；
第二，除非有100%的胜率，别全部押上。
索普把这个公式运用到自己之后的赌局和投资中，也正是因为他的使用和推广，凯利公式成了金融界的香饽饽。股神巴菲特、股神搭档查理·芒格、债券之王比尔•格罗斯等人，都曾明确表示，自己在风险管理中，使用到了凯利公式。
查理·芒格说过：“当世界给予你机会的时候，聪明的投资者会下重手。当他们具有极大赢面的时候，他们会下大注。其余的时间里，他们做的仅仅是等待，就这样简单。”芒格的话，其实就是凯利公式所表达的意思。
但在华尔街，并不是所有人都能认识到风险管理的重要性，到处都是用高风险博取高回报的案例，其中不少惨痛的教训。长期资产管理公司就是个经典的反例。
长期资产公司一度是华尔街的超级梦之队。合伙人中包括多位知名经济学家，其中就包括发现期权定价公式的两位诺贝尔奖获得者。长期资产的人，还曾问过索普是否有兴趣参加，或者投资，索普拒绝了。他认为长期资产的领头人偏好高风险，自己并不喜欢；而且他认为长期资产的合伙人们，缺乏实际投资经验，难保不是纸上谈兵。
长期资产创立于1994年，在前几年每年收益都高达30%以上。但它的高收益建立在高杠杆高风险上。它的杠杆率在30倍到100倍之间浮动，不到1%的利润可以放大到约40%的利润。但是一旦市场下跌3%，本金就会全部亏光。据这帮经济学家的测算，亏光的概率不到万分之一，但这种小概率事件恰恰就发生了。1998年，长期资产公司在不到四个月内亏掉46亿美元，几乎亏光了本金，随后倒闭。索普的评价是：“这帮人下注太多，酿成了大祸。”
想要完完全全应用凯利公式，需要知道收益结果的确切概率。在大部分赌场中你预先可以估计到自己的胜率。而在现实投资中，这种胜率很难估计，而投资者天生又会过度乐观和悲观。你认为70%胜率的投资，可能实际只有55%的胜率。面对这种情况，索普的办法是，再保守一些，用比凯利公式算出的结果更小的比例去下注。
索普警告，对于那些声称100%赚钱、而且收益率还很高的项目，尤其要睁大眼睛。
索普就亲自揭露过这样一个骗局。1991年，有一家投资公司请索普来帮忙，检查公司的投资组合有没有问题。索普经过梳理发现了组合中有个基金不太正常。这个基金持续10年每年收益都高达20%以上，而且每个月都是赚钱的。索普详细询问了基金经理的投资策略后断定，这是个骗局。根据他的计算，按照这种策略，基金不可能每个月都赚钱，肯定应该有赔钱的月份。
带着自己的怀疑，索普将这位基金经理的买卖记录与市场上当天真正的交易量做了对比，发现交易记录是伪造的，很多交易根本不存在。投资公司在索普的建议下，把钱拿了回来。由于监管机构的漠视，这起骗局后来又持续了17年，而且越来越大。直到2008年金融危机期间，因为资金链断裂，骗子才被正式揭露。这就是“世纪巨骗”麦道夫，这起骗局诈骗金额超过600亿美元，受害客户4800名，其中还有很多名人政要。
总结一下第三部分，索普进行风险管理的主要工具，是凯利公式。简单来说，胜率越高，下注越大，但别全押。公式背后的思维方式比公式本身更加重要，因为生活中面临的选择，胜率和赔率都不那么容易算清楚。
总结
好的。总结一下本期音频，我们用三个重点问题，带你了解了索普的故事和他的思维模型。
第一、怎么击败庄家？索普主要的思维模型是概率统计。索普从不轻信已有的结论，而是亲自去验证；他也不相信什么运气，而是寻找统计学意义上的解决之道。
第二、怎么击败市场？索普主要的思维模型是风险对冲。排除无法判断的情况，对冲掉自己无法掌控的风险，用自己最擅长的数学方法，成功获利。
第三、怎么控制风险？索普主要的思维模型是凯利公式。胜率越高，下注越大；除非有100%的胜率，千万别全押。最大的风险不是输钱，而是爆仓。
爱德华·索普的故事，此前王烁老师在《大学·问》和《30天认知训练营》中都曾讲述过。王烁给索普总结的打法中有一条，就是：始终保持理性，不是只在某个科学领域里保持理性，而是在与世界打交道的所有方面都保持理性。所以，索普才能从校园、到赌场、再到华尔街，全都是大赢家。甚至在找寻伴侣的过程中，他也是用理性的思考，得出了结婚的结论，并换来了长达60年的美满婚姻。
无独有偶，查理·芒格也曾说过，自己成功的秘诀如果只用一个词来说，就是“理性”。你必须先维持理性，才能够让知识得到有效的应用。没有理性，知识、耐心这些东西，都没有用。尽管我们很难复制索普和芒格的奇迹，但我们却可以学习他们生活中的理性。
撰稿：于利强
脑图：摩西脑图工作室
转述：孙潇
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Ⅳ 如何用凯利公式计算单一股票的仓位
仓位=P-（1-P）/（（收益期望值）/（亏损期望值））
=P-（1-P）*（亏损期望值）/（收益期望值）
Ⅳ 股市进阶之道——一个散户的自我修养（读书笔记一）
这是一本我读过的国人写的最通俗易懂的价值投资入门书，比起国外的价值投资分析着作更能提起阅读兴趣，也更能起到实际的指导作用。作者李杰，2006年进入股市，2008年正式转为职业投资人，2009年以水晶苍蝇拍为笔名在网络上发表投资杂谈，2013年其微博浏览量超过1700万次。本书2014年4月第一版，2015年1月已是第9次印刷，可见此书的畅销程度。八年时间作者能写出如此有见地的着作，不得不佩服此人超强的学习能力和总结归纳能力。
作者的写作初衷是帮助散户在浩如烟海的投资着作中提炼关键知识点，并在此之上建立系统的投资观念。因此，本书构思了三大认知版块，即正视投资、发现价值、理解市场。这三大部分分别对应着投资之道（个人投资观），价值之源（企业价值分析），和估值之谜（市场波动）。本书努力将概率思维、辩证思维和逆向思维这三个在投资中最重要的思维方式穿插到每一个重要的部分，让广大散户能够通过学习一步一步取得自我提升。主要内容分述如下：
第一部分：正视投资（个人投资观的形成）
一、有关股市的三个事实
1、低门槛与高壁垒
股市这个游戏进入门槛非常低，只要去证券公司开一个账户，足不出户就可完成交易，没有学历、年龄的限制，不受天气和地理的局限，可以说，进入股市几乎没有任何门槛。但就像免费的就是最贵的一样，低门槛的另一面是真正的获利者面临极高的壁垒。
如果股票投资是一个职业（即便只是一个兼职），那么这个职业一个突出的现象就是从业者的教育背景五花八门，且进入这一行基本没有系统的学习和培训。由此导致的结果就是股市的一赚二平七亏之说。
股市是一个少数人获胜的游戏，那么获利的高壁垒到底在哪里呢？
股价=每股收益*每股估值，所以股市获利的两个关键变量是：公司未来的业绩走向和市场给予公司的估值（PE，市盈率）。那么问题来了，对这两个关键变量的判断和把握是一件简单和容易的事情吗？毫无疑问这远非那么简单，这就是高壁垒所在。
至少面临三重困难：企业经营业绩的不确定，市场定价的复杂性，市场对人性弱点的放大。
这三大挑战也成了股市中成功的最大壁垒，也是我们要刻意去锻炼的三大能力：敏锐的商业判断力、对市场定价机制的深刻认识、强大的自我意识，克服人性弱点。基于此，可以把投资能力分成四个等级：
第一等：三大能力皆备，必为一代投资大家。
第二等：一项突出，其他两项没硬伤，可以获得可观的投资回报，财务自由不是梦。
第三等：一项突出，其他两项有硬伤，业绩容易大起大落，运气占比较大。
第四等：三项能力都很弱，属于股市中永远的炮灰和大多数。
2、股市也没那么可怕
高壁垒也不意味着股市真有那么可怕。做投资某种意义上说是在寻找超额收益的“小概率事件”。但这种小概率不是毫无规律，像彩票一样的随机波动。而是因为市场里真正具备上述三大能力的人少之又少。一旦你踏出这一步，你就会发现沿着这条路走下去，投资成功恰恰是某种“大概率事件”。
另一方面，每个家庭的财富都面临一个共同的敌人——通货膨胀。30年前万元户算是大富翁，但现在1万元勉强只够一次出国旅行的费用。
如果以1-2年的周期来看，股票的波动范围确实非常大，但如果拉长到20-30年，股票的收益相比于债券和储蓄有更大的优势。国外一个教授研究了1802—2006各类主要资产的实际回报，显示股票的回报高达75万多倍，而现金的购买力已经缩水到原来的6%。
3、远离“大多数人”
既然股市是一赚二平七亏，我们就应远离七亏的大多数人。也即巴菲特据说的在别人贪婪时要恐慌，在别人恐慌时要贪婪。
二、你其实也有优势
散户和机构比并非一无是处，散户也有自己的优势，应该学会扬长避短。机构的优势在于豪华的团队和各种专业资源。但背后也有巨大的弱势，即精力分散，不够专注，业绩考核的短期化，担心职业风险，容易丧失独立判断。相反散户可以把精力集中在一个行业的一两家公司进行深入的分析，从长远、全面的角度得出更准确的结论。
有人会说专业知识是绕不过去的东西，那么是否在研究相关企业时会面临一堵专业知识构成的牢不可破的墙呢？事实并非如此。如果没有对投资基本规律这个“1”的充分掌握，则类似专业知识这种无数的“0”就没有太多的意义。而投资的基础专业知识自学完全没有问题，再多读一些心理学、历史方面的会更好。
三、捅破投资的“窗户纸”
综合考虑高壁垒和自身的优势，如果我们以投资者的心态进入市场，应该怎么做呢？以下几点仅供参考：一、理解什么才是真正的投资行为；二、认识投资应遵循的原则；三、避开坑人的陷阱；四、循序渐进地提升自己的能力。
1、投资、投机与赌博
对投资者来说成功的关键是理解资产价值和衡量的普适规律，而对投机者而言则需要敏感于各种变化和转换中稍纵即逝的机会。以一个较长的周期来看，股市中有成功的投机者，必然存在更多成功的投资者，却没有成功的赌徒。
2、易学难精的价值投资
郭德纲曾说：京剧就像一座大山你能一眼看出高来就不敢往上爬了。但相声你乍一看就是一个小土坡，但你爬上去发现后面有一个高的坡，再爬又有一个更高的，再爬还有。某种程度上价值投资和相声的状况很相似。
3、价值投资的基石：
（1）从企业视角看投资
（2）确定自己的能力边界
（3）了解“市场先生”的脾气
（4）谨守安全边际原则
（5）建立有效的自控能力
4、把预测留给神仙
几乎所有的投资大师都会有两个完全相同的忠告：第一、不要预测市场，第二、不要频繁交易。
5、跨过“投资的万人坑”：归纳了一些容易犯的投资错误供参考。
6、投资修炼的进阶之路：四个阶段
（1）投资世界的历史和基本理念及原则
（2）企业价值分析的框架和方法论
（3）市场定价机制及长期运行规律
（4）对投资中多种要素的融合及综合运用
四、像胜出者一样思考
投资史上有很多杰出的投资家，他们在股票的选择标准上可能千差万别，在操作模式上也经常大相径庭，但在这些差异背后，某些思想原则却高度一致，这些大师们的思维方式和投资价值观，对每一个投资者来说都价值千金。
1、制造你的“核武器”
复利是投资世界的核武器，做投资的人如果不懂复利，就像厨师不会掌握火候，士兵上了战场却不带武器一样不可思议。
复利有三个关键要素：本金、收益率、持续时间。
创造世界投资奇迹的巴菲特的复合收益率也不过22%，但是他持续了50年之久，这一点全球无人能及。巴菲特自1957年正式开始专业投资至今的50多年里，只有一年的业绩增长超过50%（1976年59.3%），而惊人的是，在50多的投资生涯中只有两个年份是负增长（2001年-6.2%，2008年-9.6%）
长期良好复利的获利其实是一件非常艰难的任务，主要在于在投资过程中一旦出现大幅亏损，就会对最终收益造成破坏性的影响。所以复利用严谨的数学法则告诉我们：抑制亏损是投资取得成功的第一要务。
2、下注大概率与高赔率
凯利公式：仓位=（赔率*赢的概率--输的概率）/赔率
赔率虽然重要，但获胜概率才是最关键的因素。通常来讲，大概率和高赔率更容易出现在以下两种情况下：
一是有广阔前景和优秀盈利能力的公司，在现阶段尚未被市场充分理解，二是市场对一个只是暂时陷入困境的企业过分悲观，从而给出超低价。前一种赚的是比别人看得准、看得远的捡漏钱，后一种赚的是市场情绪失控送的钱。
3、聪明的承担风险
投资中的风险主要来自于以下几个方面：无知风险、复杂和不可知的风险、被忽略的致命小概率风险、无法有效把握机会的风险。
试图规避一切风险是不可能也不合理的，关键在于将风险控制在可承受的范围内，并且在较低的风险系数下寻求具有吸引力和可持续的盈利机会补偿。
4、深入骨髓的逆向思维
巴菲特的“别人恐惧我贪婪，别人贪婪我恐惧”已深入人心，他的搭档芒格说：把事情反过来想，总是反过来想。反过来思考可能让人豁然开朗。
逆向思维看起来并没什么技术难度，但实际上是非常困难的。逆向的前提是独立和理性。逆向并不总会带来正确的结果，特别是当趋势还远未到达转折点的时候。“为了逆向而逆向”更是容易招致主动性的错误。
5、以退为进的长期持有
长期持有实际上是一种以退为进的选择：放弃复杂不可测的部分，抓住确定性回报的部分。有过一个统计：从1926到1996的70年间，股票的所有报酬几乎都是在表现最好的60个月里创造的，只占时间的7%而已。问题是我们并不知道是哪些月份，其中的教训是闪电打下来时，你必须在场。
6、会买的才是师傅
有一句流传很广的话叫作“会买的是徒弟，会卖的才是师傅”。仔细想想，果真如此吗？
五、认知偏差与决策链
投资决策所涉及的环节比我们想象的要复杂，在每一个环节上都可能出现重大的认知偏差，从而导致决策所依据的某个关键假设偏离了事实和真相。
1、隐形的决策链
人们的决策链沿着“事实→信息→观点→判断→理念→信仰”这几个层次逐渐展开并且自我认同越来越强大的。熟练的投资者善于区分不同阶段并能理性地循序渐进地推进最终决策的形成。
2、让大脑有效运作
阻碍大脑正常运作的障碍主要有：
（1）先入为主的想当然：行业龙头是否名符其实？
（2）屁股决策脑袋：你的仓位决定了你的看法
（3）真实的偏颇：盲人摸象般得到的信息不全
（4）超出能力圈的复杂判断
（5）专业自负与灯下黑
（6）顽固的心理弱点:锚定效应、羊群效应
3、跨过信息的罗生门
尽量确保一笔投资决策是建立在一个基本面的长期趋势上，而非碎片化信息的组合，这样就不容易被突发事件和不明信息所干扰。
保持信息的客观完整，如果得到的信息只反映部分，由此可能形成一个真实但片面的判断。
大多数的内部信息不如没有，因为一方面不靠谱，另一方面还会给投资者一种特别靠谱的假象和心理暗示。
即使信息量及来源一样，信息的解读能力也有天壤之别。投资中的信息按照获利的困难程度划分为三个层次：已知的、可知的和未知的信息。
说到底，克服认识偏差和决策链过程中信息扭曲的根本方法在于：搞清楚并且强化自己的能力圈，坚持在能力范围内，建立起一套有效评估企业价值的方法体系，对生意、企业、投资建立起框架性的思维方法。
Ⅵ 赌博到最后只有输，无法战胜的“凯利公式”到底是什么
凯利公式是f*=(bp-q)/b
其中f*=应投注的资本比值
p=获胜的概率（看每一次赌博的玩法而决定，例如抛硬币，硬币只有两面，那么开出每一面的比例都是50%，即0.5，以此类推）
q=失败的概率，即1-p（还是以抛硬币举例，即q是开出你下注的反面的概率）
b=赔率，等于期望盈利÷可能亏损（即盈亏比）
bp-q=期望值，也即我们常说的“赢面”
凯利公式是用于计算在每一次的赌博（下注）时，应该押注多少才能保证自己收益最大化的公式，若果能正确算出f*，并严格按照这个数目下注，你的运气会比对数字一无所知、下注全凭感觉的赌徒更长久一些。但是请记住，所有的赌博游戏，都是对赌徒不利的，只要你一天不远离赌博，等待你的只有输，一切都只是时间问题。
从这个公式看出，赌博要赢不是不行，但是非常之难，想不输最好的方法就是不赌。
Ⅶ 凯利公式教你如何用正确的方法投资
凯利公式志在解决的问题
假设赌局1:你赢的概率是60%，输的概率是40%。赢时的净收益率是100%，输时的亏损率也是100%。也即，如果赢，那么你每赌1元可以赢得1元，如果输，则每赌1元将会输掉1元。赌局可以进行无限次，每次下的赌注由你自己任意定。问题： 假设你的初始资金是100元，那么怎么样下注，即每次下注金额占本金的百分之多少，才能使得长期收益最大？
对于这个赌局，每次下注的期望收益是下注金额的60%*1-40%*1=20%，期望收益为正。也就是说这是一个对赌客占优的赌局，而且占得优势非常大。
那么我们应该怎么样下注呢？
如果不进行严密的思考，粗略的想象一下，我们会觉得既然我每次赌的期望收益是20%，那么为了实现长期的最大收益，我应该在每次赌博中尽量放入更多比例的本金。这个比例的最大值是100%。
但是显然每一局赌博都放入100%的本金是不合理的，因为一旦哪一次赌博赌输了，那么所有的本金就会全部输光，再也不能参加下一局，只能黯然离场。而从长期来看，赌输一次这个事件必然发生，所以说长期来看必定破产。
所以这里就得出了一个结论： 只要一个赌局存在一下子把本金全部输光的可能，哪怕这个可能非常的小，那么就永远不能满仓。 因为长期来看，小概率事件必然发生，而且在现实生活中，小概率事件发生的实际概率要远远的大于它的理论概率。这就是金融学中的 肥尾效应 。
继续回到赌局1。
既然每次下注100%是不合理的，那么99%怎么样。如果每次下注99%，不但可以保证永远不会破产，而且运气好的话也许能实现很大的收益。
实际情况是不是这个样子呢？
我们先不从理论上来分析这个问题，我们可以来做个实验。我们模拟这个赌局，并且每次下注99%，看看结果会怎么样。
这个模拟实验非常的简单，用excel就能完成。请看下图：
如上图，第一列表示局数。第二列为胜负，excel会按照60%的概率产生1，即60%的概率净收益率为1，40%的概率产生-1，即40%的概率净收益为-1。第三列为每局结束时赌客所有的资金。这个实验每次下注仓位是99%，初始本金是100，分别用黄色和绿色标出。
大家从图中可以看出，在进行了10局之后， 10局中赢的局数为8，比60%的概率还要大，仅仅输了两次。但即使是这样，最后的资金也只剩下了2.46元，基本上算是输光了。
当我把实验次数加大，变成1000次、2000次、3000次……的时候，结果可想而知了，到最后手中的资金基本上是趋向于0。
既然99%也不行，那么我们再拿其他几个比例来试试看，看下图：
从图中可以看出，当把仓位逐渐降低，从99%，变成90%，80%，70%，60%的时候，同样10局的结果就完全不一样了。从图中似乎可以看出随着仓位逐渐的变小，在10局之后的资金是逐渐变大的。
大家看到这里，就会渐渐的发现这个赌局的问题并不是那么简单的。就算是赌客占优如此之大的赌局，也不是随随便便都能赢钱的。
那么到底怎么下注才能使得长期收益最大呢？
是否就像上图所显示的那样，比例越小越好呢？应该不是，因为当比例变成0的时候显然也不能赚钱。
那么这个最优的比例到底是多少呢？
这就是着名的凯利公式所要解决的问题！
凯利公式介绍
其中f为最优的下注比例。p为赢的概率。rw是赢时的净收益率，例如在赌局1中rw=1。rl是输时的净损失率，例如在赌局1中rl=1。注意此处rl>0。
根据凯利公式，可以计算出在赌局1中的最有利的下注比例是20%。
我们可以进行一下实验，加深对这个结论的理解。
如图，我们分别将仓位设定为10%，15%，20%，30%，40%。他们对应的列数分别是D、E、F、G、H。
当我把实验次数变成3000次的时候，如下图：
当我把实验次数变成5000次的时候，如下图：
大家从两幅图中可以看到F列对应的结果最大，和其它列相比压根就不是一个数量级的。而F列对应的仓位比例正是20%。
大家看到凯利公式的威力了吧。在上面的实验中，如果你不幸将比例选择为40%，也就是对应H列，那么在5000局赌博之后，你的本金虽然从100变成了22799985.75，收益巨大。但是和20%比例的结果相比，那真是相当于没赚钱。
这就是知识的力量！
凯利公式理解
凯利公式的数学推导及其复杂，需要非常高深的数学知识，所以在这里讨论也没有什么意义。哎，说白了其实就是我也看不大懂。在这里我将通过一些实验，加深大家对凯利公式主观上的理解。
我们再来看一个赌局。赌局2： 你输和赢的概率分别是50% ，例如抛硬币。赢的时候净收益率为1，即rw=1，输的时候净损失率为0.5，即rl=0.5。也就是说当你每赌一元钱， 赢的时候你能再赢1元，输的时候你只要付出去5毛。
容易看出赌局2的期望收益是0.25，又是一个赌客存在极大优势的赌局。
根据凯利公式，我们可以得到每局最佳的下注比例为：
也就是说每次把一半的钱拿去下注，长期来看可以得到最大的收益。
下面我要根据实验得出平均增长率r的概念。首先来看实验2.1，如下两张图：
这两张图都是模拟赌局2做的实验，在第二列的胜负列中，实验会50%的概率产生1，表示盈利100%。50%的概率产生-0.5，表示亏损50%。第三第四列分别是在仓位为100%和50%下每次赌局之后所拥有的资金。
仔细对比两张图可以发现结论一，亦即 在经过相同次的局数之后，最后的结果只与在这些局数中赢的局数的数量和输的局数的数量有关，而与在这些局数中赢的局和输的局的顺序无关。 例如在上两幅图中，同样进行了4局，同样每幅图中赢了两局输了两局，但是第一张图的输赢顺序是赢输输赢，第二张图的输赢顺序是输赢赢输。它们最终的结果都是一样的。
当然这个结论非常容易证明（乘法交换律，小学生就会），这里就不证明了，上面举的两个例子足够大家很好的理解。
那么既然最终的结果和输赢的顺序无关，那么我们假设赌局2如实验2.2一样进行下去，看下图：
我们假设赌局的胜负是交替进行的，由于结论一，从长期来看这对结果资金没有任何影响。
在自己观察图片之前我们先做一个定义。假设将某几局赌局视为一个整体，这个整体中各种结果出现的频率正好等于其概率，并且这个整体的局数是所有满足条件整体当中局数最小的，那么我们称这个整体为一组赌局。例如在上图的实验中，一组赌局就代表着进行两局赌局，其中赢一次输一次。
仔细观察上图中蓝色标记的数字，它们是一组赌局的结尾。你会发现这些数字是保持着稳定的增长的。当仓位是100%时，蓝色标记数字的增长率是0%，即一组赌局之后本金的增长率为0%。这也解释了当每次都满仓下注的时候，在赌局2中长期来看是无法赚钱的。当仓位是50%（即凯利公式得出的最佳比例）时，蓝色标记数字的增长率是12.5%，即一组赌局之后本金的增长率为12.5%。
这是一个普遍的规律，每组赌局之后的增长率与仓位有关。且每组赌局之后的增长率越大，那么长期来看最终的收益也就越多。
根据每组赌局的增长率可以计算出每个赌局的平均增长率g。在上面的图中，每组赌局之中包含两个赌局，那么每个赌局的平均增长率
其实这个r是可以通过公式算出来的。
从长期来看，想要让资本得到最大的增长，其实只要让r最大，也即让g最大化。而最佳下注比例f其实也是通过求解max(g)的出来的。
凯利公式其他结论——关于风险
凯利传奇（本节内容来自互联网）
凯利公式最初为 AT&T 贝尔实验室物理学家约翰·拉里·凯利根据他的同僚克劳德·艾尔伍德·夏农于长途电话线杂讯上的研究所建立。凯利解决了夏农的资讯理论要如何应用于一名拥有内线消息的赌徒在赌马时的问题。赌徒希望决定最佳的赌注金额，而他的内线消息不需完美（无杂讯），即可让他拥有有用的优势。凯利的公式随后被夏农的另一名同僚爱德华·索普应用于二十一点和股票市场中。
索普利用工作之余，通过数个月的艰苦演算，写了一篇题为《“二十一点”优选策略》的数学论文。他利用自己的知识，一夜之间“奇袭”了内华达雷诺市所有的赌场，并成功的从二十一点赌桌上赢得了上万美元。他还是美国华尔街量化交易对冲基金的鼻祖，70年代首创第一个量化交易对冲基金。1962年出版了他的专着《打败庄家》，成为金融学的经典着作之一。
运用展望
如何利用凯利公式在现实生活中赚钱？那就是要去创造满足凯利公式运用条件的“赌局”。在我看来，这个“赌局”一定是来自金融市场。
近期我一直在做交易系统的研究， 对于一个优秀的交易系统来说什么是最重要的？一个期望收益为正的买卖规则占到重要性的10%，而一个好的资金控制方法占到了重要性的40%，剩下的50%是操控人的心理控制力。
而凯利公式正是帮助我进行资金仓位控制的利器。
比如说之前我研究出的一个股票交易系统，该系统每周进行一次交易，每周交易成功的概率是0.8，失败的概率是0.2。当成功的时候可以赚取3%（扣掉佣金，印花税），每次失败时亏损5%。在不知道凯利公式之前，我都是盲目的满仓交易，也不知道我这个仓位设定的对不对，心理很虚。在运用凯利公式之后，计算的最佳的仓位应该是9.33，就是说如果借款利率是0的话想要得到最快的资金增长速度就要使用杠杆交易，通过公式计算得到每次交易的平均增长率r约等于7.44%，而满仓交易的平均资金增长率为r约等于 1.35（其实也就是期望收益）。通过实验模拟之后也发现确实杠杆交易比满仓交易资金增长的速度要快的多。这也让我更好的理解了为什么很多量化投资基金公司需要使用杠杆交易。
当然凯利公式在实际的运用中不可能这么的简单，还有很多的困难需要克服。比如说杠杆交易所需要的资金成本，比如说现实中资金并不是无限可分的，比如说在金融市场并不像上文提到的简单的赌局那么简单。
但是不管怎么样，凯利公式为我们指明了前进的道路。
Ⅷ 凯利公式 如何应用到股市中
凯利公式 是一条用在期望值很高的投资和投赌中的规则。该公式必须应用在实际增长率相当高，永远不会导致完全损失所有资金的情况。它假设下赌可无限次进行，而且下注没有上下限,这就要看你的眼光了
Ⅸ 如何利用凯利公式控制股票仓位
在我们去进行股票，期货投资的时候，经常听到有人说到金字塔加仓法，当亏损的时候，每次亏损都加大我们的仓位到原来的总仓位的两倍，这样，一方面可以摊薄我们的平仓持仓成本，另一方面，当行情反转的时候，我们就更容易回本，甚至收回收益；而当盈利的时候，我们去增加仓位就需要小心，可以每次增加仓位为原来的 1/2，因为股价高的时候，它回落起来也更容易，因此，我们以比较小的仓位去进行加仓，可以避免我们的持仓成本太高。
乍一听，是这么一回事，而且不少我们投资者也会采用这样的办法去应对自己的投资策略。但是，这样做是否合理，能不能从数学，从数据模拟上针对我们这样的投资策略去进行一个合理的分析呢？这里，笔者试图以掷硬币为例，来介绍鞅与反鞅策略。对于掷硬币，这里做一个假定，假如正面为赢，反面为输，赢的话，可以得到多一枚硬币，输的话，付出的硬币就此输去。
鞅策略
有一种投注方法，当我们每次输了的时候，那么我们下次就加倍投注，譬如，第一次如果投入一枚硬币，那么下一次我们就投入两枚硬币，赢了的话，我们不仅可以将输了的一枚硬币成本覆盖，还能多赚一枚；如果还是输的话，那么下次我们投注 4 枚硬币，赢了的话，不仅可以覆盖我们付出的 3 枚硬币，还能多赚一枚硬币；以这 样的策略一直往下，如果能赢，我们总是能多赢一枚硬币。
但是，这样的策略隐含了一个假设，那就是它默认我们的资金是无限的，当连续输的情况出现的时候，是否还坚持这样的策略，哪怕我们仍然想坚持，但是本金可能不足够了。譬如，假设我们有100 枚初始硬币，经过这样的 掷硬币**，如果出现连续7次皆负的情况，我们的本金就全部输掉了。也许你会认为，连续7次硬币都出现反面概率不大，但是，当我们参与这样的**次数足够多的时候，连续7次 或更多次硬币出现的概率会变得非常大，譬如，掷一百次硬币实验中，连续7次或更多次出现反面的概率是：
因此，当我们知道了赔率，胜率，完全可以利用凯利公式对我们的投资进行指导，去获得更多的收益。譬如，读者可能已经发现了，在我们采用反鞅策略去进行**的时候，一开始风险加大的时候，收益变多；但是超过某个阈值的时候，很容易就破产，这里，我们采用凯利公式计算一下，在我们之前举例的情况下，投注最佳比例是多少？
在示例中，掷硬币，每猜对一次的概率都是 0.5, 猜对了赢得 1.25 元，输了就投入全部没有，因此，我们有 b=frac{W}{L} = frac{1.25}{1} = 1.25, p, q均为 0.5,L=1, 因此 x=(1.25*0.5 - 0.5)/1.25/1=0.1,从我们实验的结果可以看到，确实，当风险度为 0.1 的时候，收入最多，与我们之前实验结果相符。
讨论
知道了凯利公式，也许会有读者会想到，通过凯利公式，完全可以指导我们去做投资，譬如，股票市场，和**差异也不算很大，甚至有人说，股票市场就是一个大赌场。但是，当读者真的想套用凯利公式的时候，会发现有很大的困难，困难来自于投资的胜率和赔率的不确定性。当我们去投资某支股票的时候，是赚是亏，赚多少，亏多少，并没有一个确定的值，一个耗时耗力的做法是去做仿真交易或者小资金去投资，根据一段时间后统计投资成功率的结果来决定之后投资比例。但是，一方面这样的做法相当耗时，另一方面，不同时期，股票市场风格差异，按照彼时投资结果去作为此时投资结果的参考，彼时投资结果是否能正确反应当前市场的风格，可能我们心里要打一个问号了。那这时候可能读者就会问，那我们去了解凯利公式有什么用呢？此时，程序化交易的优势也就体现出来了。当我们的投资理念确定好之后，用代码将其建模并回测，完全可以在历史的不同时间段内进行回测，得到不同市场风格下，策略的胜率和赔率情况，之后，当确定回测结果没有其他问题的时候，我们就可以按照最佳的投资比例去控制我们利用该策略去投资股票市场的仓位，以期得到最佳的回报。
即便如此，直接套用凯利公式，可能依然是不合适的，在任何时候，我们都需要将风险的意识放在最前面，风险占据的权重可能在我们投资决策中，占据的比例比收益更大，以比较小的风险作为投资决策，可能会更合适。凯利公式考虑的是理论上的胜率赔率，实际情况可能会更差，当考虑到手续费，滑点，回测与实盘其他差异后，实际情况后比回测差基本上是百分百的，因此，我们是不是应该用相比凯利公司更小的风险度作为我们投资的比例呢？
最后，强烈推荐《资金管理方法及其应用》-- 安德烈 昂格尔，如果读者有时间，有兴趣， 强烈推荐大家去仔细研读参考书籍，对于风险控制，仓位管理，作者给了很好的介绍。另外，海龟交易法的仓位管理，读者如果阅读了本文再去看它的仓位管理方式，也许会有更大的收获。
Ⅹ 21点与凯利公式（期望和概率）
这几天看完一本讲赌局的书《迷失的天才》。这是一个发生在美国的真实故事，说的是一位天才的数学教授在大学生中网罗了一批数学天才，关起门来训练他们玩21点。然后指挥他们转战各个赌场，通过相互间的配合，赢了很多钱，最终又成为各大赌场的黑名单中人与追杀对象，后来这本书被拍成电影《决胜21点》，推荐您看一下。
21点的游戏规则是，大家围桌而坐，由专人依次发牌，每个人都可根据自己手中的牌点，决定继续要还是不要。大家都停止要牌后，就摊牌比大小。在21点范围内，谁大谁就赢，超过21点就算爆掉，为无条件输家。所有的闲家都可根据自己的意愿停止要牌，只有庄家的牌点必须大于16点。在这样的规则下，剩下的牌中，大点子牌越多，庄家爆掉的可能性越大。因此，这群数学天才们将7计为0点；小于7的牌算作小牌，计为 -1；大于7的算作大牌，计为 1。赌场玩21点一般都以3副牌为一局，3副牌中，小于和大于7的牌都为72张。3副牌共152张，玩到一半时，剩下几十张牌中，大点子牌占大多数时，庄家爆掉的可能性就会迅速上升。
因此，他们总是几人一组装作谁都不认识谁，进入赌场，由其中的一位先在某一张牌桌上以很小的赌注玩。他的任务是计算剩下的牌中正数与负数的比例。一旦达到理想比例，就发出一个暗号，然后离开牌桌，将座位让给某一个闻讯前来的同伴。
21点本质上是一个随机游戏，每个人的输赢概率理论上均为50%，但由于当牌点一样大时算庄家赢，因此，庄家实际赢率为51%。
但是，通过上述方式，这帮数学天才可使自己的赢率超过52%。新来的同伴只要在概率更高时加大下注金额，理论上就能赢钱。况且新来的同伴还会根据手中的牌点大小，成倍提高或适当减少下注金额，进一步提高赢的概率。就用这种方法，这群数学天才几乎横扫了拉斯维加斯的所有赌场，为自己赢得了相当可观的财富。
在这场游戏中，最难的是在大家将牌摊开的一瞬间，你能快速而准确地记住已出现过的大牌与小牌数量、计算出这一局还剩多少张牌、大牌与小牌的比例，而且要不动声色，不能让人察觉你在观察其他人摊开来的牌。这需要很高的数学天分。至于玩的方法则非常简单，说到底就是一个输赢概率和下注数量：赢的概率越高，下注的数额越大。
如果把下注金额看作股票仓位，那么在上述例子中，这群数学天才赢就赢在仓位管理上。在一局牌刚开始时，由于闲家赢的概率宏观上不到49%，因此他们只是以小小的注额试水，也就是以轻仓为主。偶尔拿到一手好牌，比如牌点非常接近于21点时，才稍稍下大一点的注，把仓位提高一点。当剩下的牌局明显地有利于闲家时，就以重仓为主。当宏观上赢面居大，微观上又拿了一手好牌时，就把仓位提高到最大限度。
运营一个赌场，要考虑的是长期的赢利，而非短期的成败。根本不用在意输钱，甚至不该害怕连续的输，因为那是的必要成本。还记得该守不守的 “结果偏好” 吗？对结果不满意？要修改规则？种人开不了赌场。
开赌场，不看结果看胜率（expectation）。大可不用管这次能不能赚，只管大家是不是一直赌下去，有没有赢利的可能。只要有50.001%的胜算，就够了，这多出来的0.001%，就要靠“一直做”来变现，放到足够多的交易中，放到足够长的时间里，就能变成一个天文数字。至于短期的损失，只会吸引更多的赌徒参与赌局，只会使赌局延续更长时间，只会让我们最终的收益更大。同样，交易中的亏损并不意味着真的损失，他是诱饵，是必要的成本，是长期的收益。
交易系统中的胜算，叫做期望收益。历史表现是推测未来期望收益的依据。计算过程有三步：第一，这个系统最初设定的买入价（entry price）和止损退出价（stop loss price）之差是多少。
第二，在最初的价格设定下，最终的交易量是多少，最后得到的收益是多少。
第三，算一算风险投入（risk），用买入价与止损价的差额，乘以最终的交易量。
第四，得到历史胜算，也就是未来的期望收益（expectation），用最终收益，除以风险投入。优秀的仓位管理技巧都来自赌场经验。在这方面最为着名的是 凯利公式：
其中，F = 投注金额占总资金的比例；
p = 获胜的概率；
q = 失败的概率，即 q = 1-p；
b = 赔率，例如在轮盘中押单个数字，b = 35，押红黑，b = 1。
假设总赌本1万元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1，那么凯利公式给出的最佳赌注是：
10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = 200（元）
公式中分子的b*p - q；代表“赢面”，数学中叫“期望值”(expectation)，凯利公式指出：正期望值的游戏才可以下注，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有把握，决不下注”。赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。比如出现了三种情况：
a.“小博大”：胜率20%，赔率是5，输了全光。 b*p - q = 5*20% -80% = 20%
b.“中博中”：胜率60%，1赔1。b*p - q = 1*60% - 40% = 20%
c.“大博小”：胜率80%，1赔0.5。b*p - q = 0.5*80% - 20% = 20%
三个游戏的数学期望值一样，都是20%，或者说押100元平均赢20元。按大部分国人的赌性，恐怕会选“小博大”游戏吧？但是用凯利公式中的 “b” 一除，“小博大”游戏只能押总资金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。
赢钱速度“大博小”快多了！ 前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗？ 说的就是这个了。现实中，爱玩“小博大”的多半是赌客。 谁爱玩“大博小”呢？ 赌场！ 华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”，因为便于使用杠杆（押大赌注）。关于这点后面还要详细讲。
最后，凯利公式指明了风险控制的至关重要性：即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。从数学上讲，押注资金比例超过了凯利值，长期的赢钱速度反而下降，还会大大增加出现灾难性损失的可能性。举个极端的例子，如果你每手都押上全部资金，那么不管你赢过多少钱，只要输一次就立刻破产。正所谓：辛辛苦苦几十年，一夜回到解放前。 为什么投资界赔到倾家荡产的尽是一些局部技术不错的老手呢？ 原因多半在“赌注太大”。上世纪初有位大宗师级别的投机客一世英名就毁在了这上面。
在2016年有个很火的 “投资产品” 叫做二元期权，实际是一个用期权的规则赌大小的线上赌场，注意，这些线上平台都是违法的，首先资金安全就无法得到保障，赚到钱的投资者无法提现也无处投诉。
二元期权的交易模式是，先选取预测标的，可以是股票、期货、贵金属、外汇或者他自己的产品，在该平台指定时间内交易，投资者永远不需要实质拥有资产，只需要预测资产的走向，价格并不重要，重要的是方向是否能猜正确。就是说你可以预测1分钟、5分钟、15分钟、1小时以后该标的价格的涨跌，用100元作为赌注，预测正确拿到83块，预测错误，损失本金100块。1分钟是最短的二元期权交易模式。
这里的猫腻出在哪儿呢，赔率不对等的情况下，要达到正期望值，要做到多少胜率呢？这就要详细讲一下期望值的意思。
换句话说，期望值是在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。再通俗点讲， 就是我预期的获利扣掉我预期的亏损的值，如果计算出来的期望值是正的就代表我能够长期获利，相反的如果扣出来的值是负的，那我就会长期亏损。
可能还是不好理解，咱们来举个例子说说就很清楚了。
比如赌场押骰子，一般都是三颗骰子，点数加起来小于等于10，就算小，大于等于11，就算大。然后让玩家自己选择押大还是押小。
好，请回答一个问题，你认为在这个押大小的游戏中，玩家和赌场的胜率是否都是50%？
我相信绝大多数的人会说是！
在这样的情况下，的确是，但这个押大小的游戏一般还有一个条件，如果三个骰子出现的点数一样，比如三个1、三个2等，俗称豹子，这时候就是庄家通杀，算庄家赢。
猫腻就在这儿了，很多人会说，这才多大点概率。的确，这个概率很小，才2.77%。但正是因为这个2.77%的概率存在，让赌场和玩家之间的胜率变成了玩家48.61%，赌场51.39%。可别小看这点差异，接下来我们就来看看期望值是如何计算的。
假设每次玩家押100元，玩家的预期获利就是 100 x 48.61%，预期亏损则是 100 x 51.39%，也就是说在押大小这个游戏玩家的期望值计算方式如下：
押大小期望值：100 x 48.61% - 100 x 51.39% = -2.78
这代表什么意思呢？ 就是说每当玩家投注100元在押大小这个游戏上时，平均会损失2.78元 ，虽然短期内可能连续获利或连续亏损，但只要押注的次数越多，时间长了就会非常趋近这个数字。
比如说玩家玩了1000次押大小，一次平均亏损2.78元，1000次后结果就会非常接近亏损2780元！不信？你可以自己在家中试验下。
解释完这个例子，我想你也肯定已经知道了，为什么十赌九输，为什么赌场根本就不用出千耍花样照样能赚钱。因为这在游戏规则上，靠着期望值和大数法则，就已经让庄家稳赚不赔。
咱们言归正传，说押大小的例子， 在咱们二元期权中，又该如何计算看待这个期望值。 咱们再来举个例子，假设小明是个二元期权交易者，他每次都投资100元，他赌赢的概率 大概在50%（抛硬币的概率） ，小明的赔率为83%，二元期权交易 期望值 如下：
二元期权期望值：83 * 50% - 100 * 50% = -8.5
也就是说以小明平均50%的做单胜率，每次投资100元在二元期权时，平均亏损8.5元。
假设小明一天下了十次单，那他当天的亏损将会趋近于85元。因为概率的随机性，也有可能小明会连续好几天是盈利的，但 长期下来小明在二元期权交易中必然是亏损的。
我们用已知的赔率反推概率，又是什么情况？假设，小明的二元期权交易期望值为零，也就是盈亏平衡状态：
二元期权期望值：83 * x - 100 *（1 - x）=0
直接告诉大家， 54.6% 。只要你的做单胜率长期维持在54.6%以上，就能持续盈利。二元期权交易平台比赌场要狠多了。
所以，别以为自己运气有多好，先静下心来好好统计下自己的做单胜率到底是多少。富人和穷人思维的本质区别是富人思维懂得用概率思维来解题，而穷人不断的缴纳 智商税， 所有智力竞技游戏的核心都是概率。