A. 證券價格服從漂移參數0.05，波動參數0.3的幾何布朗運動，當前價格為95，利率是4% 假設有種
根據題目，若假設有種新型投資，若購買該投資後六個月內證券價格至少為105，並且購買一年後的價格至少和六個月時價格一樣多，那麼這種投資一年後的收益為50。
幾何布朗運動 (GBM)（也叫做指數布朗運動）是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的對數遵循布朗運動。[1]幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes 模型）中模擬股票價格。本題中，若若假設有種新型投資，若購買該投資後六個月內證券價格至少為105，並且購買一年後的價格至少和六個月時價格一樣多，那麼計算為：50乘exp（-0.04）再乘【S（1/2）>105的概率】再乘【S（1）>S（1/2）的概率，則這種投資一年後的收益為50。
拓展資料：
1.常見隨機過程介紹
1）幾何布朗運動（GBM）：這個過程被Black-Scholes（1973）引入到期權定價文獻中，雖然這個過程有一些缺陷，並且與實證研究存在著沖突，但是仍然是一種期權和衍生品估值過程的基礎過程。
2）CIR模型：平方根擴散過程，這種過程由Cox，Ingersoll和Ross（1985）所提出，用於對均值回復的數量，例如利率或波動率進行建模，除了均值回復的特性以外，這個過程還是保持為正數。
3）跳躍擴散過程(Jump Diffusion)：首先由Merton（1976）所給出，為幾何布朗運動增加了對數正態分布的條約成分，這允許我們考慮，例如，短期虛值（OTM）的期權通常需要在較大條約的可能性下定價。換句話說，依賴GBM作為金融模型通常不能解釋這種OTM的期權的價格，而跳躍擴散過程可能很好的解釋。
4）Heston模型：是由Steven Heston（1993）提出的描述標的資產波動率變化的數學模型。Heston模型是一個隨機波動模型，這種模型假設資產收益率的波動率並不恆定，也不確定，而是跟隨一個隨機過程來運動。
5）SABR模型：SABR 模型是由Hagan（2002）提出的一種隨機波動率模型，在拋棄了原始的BSM模型中對於波動率為某一常數的假定，假設隱含波動率同樣是符合幾何布朗運動的，並且將隱含波動率設定為標的價格和合約行權價的函數，結合了隱含波動率修正模型的兩種思路（隨機波動率模型和局部波動率模型），更為准確的動態刻畫出吻合市場特徵的隱含波動率曲線。
B. 幾何布朗運動
一、正態隨機變數概率密度函數描述：
(μ為總體均數、σ為標准差）
二、布朗運動的數學描述：
價格時間函數P(x），T+t時刻的價格P(T+t)與T時刻價格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是一個正態隨機變數，分布的平均期望值μt，標准差為。（T>0，t>0)
重大缺陷：
1、按此價格理論上可有負值，但實際中價格不可能存在負值。
2、不論價格初值為何值，固定時間長度的價格差具有相同的正態分布，不符合常理。
三、幾何布朗運動：
把價格差改為價格的漲跌幅：可以避免直接使用布朗運動描述價格的缺陷，即為幾何布朗運動。
是一個正態隨機變數，分布的平均期望值μt，標准差為。（T>0，t>0)
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幾何布朗運動
幾何布朗運動的作用是用來模擬股價的變動。它的好處在於，一般形式布朗運動中取值可能為負數，而幾何布朗運動取值永遠不小於0，這一點符合股價永遠不為負的特徵。
幾何布朗運動微分形式的表述。或者稱SDE（隨機微分方程）形式：
其中的S(t)可以理解為股價。
幾何布朗運動函數形式表述：
上述式子告訴我們，可以先生成一服從的一般形式布朗運動，然後求其指數函數，最後乘以S(0)，即期初的股價，就可以得到幾何布朗運動。
補充：為何這里t的系數多出一項？具體可以參考伊藤公式。
歡迎求助 三個人的團兒！！！
C. 有關布朗運動和期權定價的問題，望大神解答！
布朗運動是將看起來連成一片的液體，在高倍顯微鏡下看其實是由許許多多分子組成的。液體分子不停地做無規則的運動，不斷地隨機撞擊懸浮微粒。
當懸浮的微粒足夠小的時候，由於受到的來自各個方向的液體分子的撞擊作用是不平衡的。在某一瞬間.
微粒在另一個方向受到的撞擊作用超強的時候，致使微粒又向其它方向運動，這樣，就引起了微粒的無規則的運動就是布朗運動。
期權定價模型（OPM）----由布萊克與斯科爾斯在20世紀70年代提出。該模型認為，只有股價的當前值與未來的預測有關；
變數過去的歷史與演變方式與未來的預測不相關 。模型表明，期權價格的決定非常復雜，合約期限、股票現價、無風險資產的利率水平以及交割價格等都會影響期權價格。
拓展資料：
股票與金融的關系：
股票是股份有限公司在籌集資本時向出資人發行的股份憑證，代表著其持有者對股份公司的所有權。這種所有權是一種綜合權利；
金融學是以融通貨幣和貨幣資金的經濟活動為研究對象的科學，金融是貨幣流通及與之相聯系的經濟活動的總稱。
廣義的金融泛指一切與信用貨幣的發行、保管、兌換、結算，融通有關的經濟活動，狹義的金融專指信用貨幣的融通。
總結：以上就是股票與金融的關系。
大金融股票有哪些？
大金融股是指市值巨大、占據股指成分較大的銀行、保險、證券這三類股票。我們知道金融股是處於金融行業和相關行業的公司發行的股票。
從市場因素判斷，金融股具有四大投資優勢：
一、股價不高，金融股中大部分個股的整體股價目前仍然不高，特別是證券股和信託股基本上處於剛剛起步階段；
二、增量資金介入明顯，從成交量分析金融股上漲時放量顯著，而下跌時量能迅速萎縮，顯示出介入資金是立足於長線投資，並堅定看好該板塊的後市；
三、技術形態良好，個股底部形態構築完整扎實；
四、有政策利好支持，金融股是解決股權分置的潛在試點板塊。
從大的方面來說，現在大家都看好中國經濟，外資普遍就有強烈的投資中國的沖動。由於中國的銀行已經大都經過了改制，其經營狀況能夠很好地反映中國經濟增長的實際狀況。
而且因為風險控制能力的提升，它們在保持持續穩定增長過程中具有獨到的優勢。
所以，如果要投資中國的話，最簡單的方式就是投資中國的銀行。這就可以解釋為什麼中國的銀行股票在海外市場發行時受到熱情追捧。
金融股增量資金介入明顯，從成交量分析金融股上漲時放量顯著，而下跌時量能迅速萎縮，顯示出介入資金是立足於長線投資，並堅定看好該板塊的後市。
金融股是解決股權分置的潛在試點板塊，金融股的市場號召力和對資金的吸引力正在逐步顯現出來，該板塊有望成為領漲核心，值得投資者的密切關注。
D. 研究衍生品的時候為什麼用幾何布朗運動來模擬股票價格的運行軌跡
其實很簡單，GBM（至少在一定程度上）符合人們對市場的觀察。例如，直觀的說，股票的價格看起來很像隨機遊走，再例如，股票價格不會為負，這樣起碼GBM比普通的布朗運動合適，因為後者是可以為負的。
再稍微復雜一點，對收益率做測試（ S(t)/S(t-1) - 1）做測試，發現，哎居然還基本是個正態分布。收益率是正態的，股價就是GBM模型
總之，就是大家做了很多統計測試，發現假設成GBM還能很好的逼近真實數值，比較接近事實。所以就用這個。
其實將精確的數學模型應用到金融的時間非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那個其實就是一個簡單的優化問題。後來的CAPM APT等諸多模型，也僅僅研究的是一系列證券，他們之間回報、收益率以及其他影響因素關系，沒有涉及到對股價運動的描述。
第一次提出將股價是GBM應用在嚴格模型的是black-scholes model 。在這個模型中提出了若干個假設，其中一個就是股價是GBM的。
E. 依據遠期,期貨,互換,期權等定價方法來描述金融衍生品的定價規律
在探討金融衍生產品定價思路的優缺點之前，讓我們先來緬懷一下30年來金融衍生品發展的里程碑式事件：
1973年，Black、Scholes和Merton分別提出了期權定價的Black－Scholes公式，這一模型解決了「或有剩餘索取權」的定價疑難，為衍生品市場的迅速發展掃清了最大的障礙，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經濟學獎。
1985年，McConnell和Schwartz提出了LYONs（本質是可轉換債券）的一個定價模型，為對沖基金的廣闊發展提供了大量可供套利的沃土。（可轉換債券是對沖基金最常交易的產品）
1989年，Schwartz提出了抵押貸款證券化產品的定價模型，成為資產證券化飛速發展的起點，後來出現的CDO、CDO2、CDOn、CMO等產品成為此次次貸危機的金融核彈。
90年代之後出現了引發金融危機的另一顆威力更大的「小男孩」核彈——信用違約掉期（CDS），2000年，Hull和White的定價模型更是便利了這種金融衍生產品的急速增長。
金融危機的反思
金融衍生產品的出現和發展本應是為了控制、分散、轉移風險的金融工具，奈何最後成為一場危機的導火索，值得人人深思。隨著衍生產品的不斷開發，越來越多的數學工具被加以應用，包括偏微分方程、概率統計、隨機過程、鞅論、測度論等；越來越多的計算機演算法被加以借鑒，如，牛頓迭代、蒙特卡洛模擬等。
這一切似乎讓定量分析師們（Quants）將金融工程變成了「工程」，而不再更多的追究其「金融」本質。設計者一開始就不假思索的隨機遊走（random walk）和無套利均衡，基於這一基礎開始辛勤的添磚加瓦，修建出各種美輪美奐的金融衍生產品。！！！！！！！！此為金融衍生品的定價規律即基本規律是復制 即使用市場上已有產品組合達到相同的風險收益 組合的價格就是衍生品價格！！！！！！！！！！！！！
作為一個看客，我不認為此次次貸危機和金融危機是定量分析師們有意所為，我相信寬客們的素質也絕對不會這樣。但客觀講，定量分析師們不得不負客觀上的責任，即在一個不堅實的地基上修建金融衍生品的精妙房屋。這不堅實的地基便是隨機遊走和無套利均衡。金融資產價格的變化多端使得我們簡單的認為其價格服從隨機遊走，但殊不知，股票的幾何布朗運動，利率、波動率的均值回復運動並不能完整的刻畫資產價格的走勢，特別是對極端情況的刻畫。
而所謂無套利均衡，是指如果幾個市場之間存在無風險的套利機會，套利力量將會推動幾個市場重建均衡，但它僅僅是一個局部均衡，三個市場之間的無套利均衡並不意味著其定出來的價值是真實的、穩定的，可能三個市場均是300％的泡沫，它仍然是無套利均衡的，但不是一般均衡的，這樣的價格是會破裂的，最好的佐證便是這次次貸危機。
未來的衍生品定價技術如何發展？這是一個可以再獲諾貝爾獎的命題。是繼續技術化的「工程」道路，不假思索的無套利定價？還是向一般均衡靠近，兼顧到其標的金融資產的內生價值？當然毫無疑問，前者易，後者難。前者只需要簡單的把標的資產價格作為一個外生變數，通過對相關資產價格比較進行定價，而不考慮行為主體的偏好和效用函數。後者需要考慮標的資產價值的合理性，在給衍生品定價的同時，考慮宏觀經濟變數的理性預期均衡。一代奇才Black晚年致力於解決它，但不幸早逝，或許一般均衡是「上帝的均衡」，可望不可及。
但此次金融危機的深刻教訓，讓我們不得不重新思考，定價是否應該盡可能的考量到外生的宏觀因素，向一般均衡靠近，盡管它永遠不能達到。畢竟這個真實的世界不是完全隨機遊走。事實上，金融危機後，很多學者已經開始在向這個方向靠近。（作者系匯豐集團中國首席經濟學家）
F. 幾何布朗運動的在金融中的應用
主條目：布萊克-舒爾斯模型
幾何布朗運動在布萊克-舒爾斯定價模型被用來定性股票價格，因而也是最常用的描述股票價格的模型 。
使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由: 幾何布朗運動的期望與隨機過程的價格（股票價格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望是相符的 。 幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。 幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的「roughness」 。 幾何布朗運動過程計算相對簡單。. 然而，幾何布朗運動並不完全現實，尤其存在一下缺陷: 在真實股票價格中波動隨時間變化 (possiblystochastically), 但是在幾何布朗運動中, 波動是不隨時間變化的。 在真實股票價格中, 收益通常不服從正態分布 (真實股票收益有更高的峰度('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的價格波動).
G. 新人求助股票
股市是可預測的嗎？
對此問題的回答，目前最權威的回答是：否！不可測論者既有學院派的有效市場理論，也有來自股市中最成功的投資家（如巴菲特，彼得林奇等）。現在(注:1999)我終於長舒了一口氣，可以肯定地說，股市是可以預測的。我得出這一結論，並且堅定了這一信念，最主要的是來自分形幾何學理論和翁文波先生的預測論。當然也來自自己和他人的具體的實際預測。本文重點談一下分形幾何學理論得出的具有普遍意義的結論。
請有空的時候做個拋擲硬幣的游戲吧，正面取 +1 ， 反面取 -1 ，拋擲100次，取和為縱軸，橫軸為次數，這樣就可以得到一條鋸齒狀曲線。乍一看，你會以為是股價走勢圖。而有效市場理論正是這么看的。大名鼎鼎的薩繆爾森在權威的《經濟學》教科書中就支持這一看法。若如此，你就是閉著眼睛買股票也沒有錯。硬幣拋擲更為原始的比擬是醉漢散步或隨機漫步。假設一醉漢在一人行道上行走，進一步，退一步的概率相等，問在n步後，醉漢在何處？數學語言陳述為一維隨機遊走問題。這一簡單的問題引發了大量的研究，並得出了一些驚人的深奧結論。所謂有效市場理論又叫隨機漫步理論，只是較早時期得出的一種認識，已經為八十年代誕生的新的數學理論分形幾何學所否定。只可惜，投資股市的業內人對此所知甚少。
分形與波浪理論
分形理論開創人曼德布羅特一九八六年給分形下的定義是：組成部分與其整體以某種方式相似的形態稱為分形。舉例以明之：一把米尺標有分米，厘米和毫米刻度。如把每一分米含有十個厘米刻度與整個米尺含有十個分米刻度相比較它們是完全相似的。這種自相似性在厘米，毫米層次也都存在。這反映了十進制計數法的自相似性。又如：波浪理論的所謂數學基礎------婓波那奇數列何以如此神奇在股市大行其道。這是因為該數列也具有分形結構。該數列的形象陳述是兔子生長問題：一對小兔子假定一個月就能長成一對大兔子；又假定一對大兔子一個月生一對小兔子，那麼n個月共有多少對兔子？我們可以用一棵分形樹表示它。這棵樹會非常直觀地表示出婓波那奇數列呈現自相似性，每一枝樹杈都與整棵樹相似，內含生長機制。且其黃金分割比1.618近似等於股票市場的分形維數（D=1.7）。一棵樹可以說是把一段舒緩的時間節律翻譯成了空間形態的分形。
股票市場的形態也是自相似的。這一點熟悉波浪理論的人很容易理解。《股市動態分析》1998年51期所載艾略特波浪理論給出了兩個圖形（圖73，圖74），一個是小時為尺度，一個以年為尺度。兩個圖形驚人地相似。柏徹特說：「股票市場的形態無論多大或多小，其基本格局永遠不變」。這等於是說：股票市場的形態具有分形結構。曼德布羅特則從數學上嚴格證明了這一點。（數學過程略）他歸納為兩條法則：
（1）每個單位時間的股價變動分布，服從於分形維數D=1.7的對稱穩定分布。
（2）單位時間無論取多大或多小，其分布也是相似的。也就是說適當地改變尺度，就可成為同樣的分布。
這兩條法則的第二條與波浪理論的主張完全一致，即你無論是看分時股價圖，還是看日線圖或月線圖，其基本結構是一致的，都存在八個波段。而第一條法則雖然是從美國股市的統計數據而得到的，卻蘊涵著極為重要的信息。
布朗運動與分數布朗運動
英國植物學家布朗於1827年在顯微鏡下觀察花粉在水中的運動軌跡，他發現花粉的運動極不規則,雜亂無章；後被稱為布朗運動。法國物理學家皮蘭每隔30秒記錄一次布朗粒子的位置坐標，並把相繼兩個位置點連成線段，結果得到一條復雜無規的折線.這一觀察說明布朗粒子的運動軌跡是由方向隨機的許多步子組成的，所以本文開頭所述的一維隨機遊走模型可以用來描述布朗運動。即布朗粒子的位置X（t）是時間t的隨機函數，可表達為：
X（t=nτ）=x1+x2+x3+……xn ( 1 )
當時間間隔τ=1時，與拋擲硬幣取和式完全相同。控制論大師維納在研究通信問題時引入了更一般的布朗運動隨機函數：
X（t）-X(t。)~ξ|t-t。|H ( t > t。) （2）
因次,這一隨機過程也稱為維納過程。非常重要的是維納把布朗運動視為信息的對立面，稱之為布朗噪音。原因在於布朗粒子的位置增量，在不同時間間隔互不相關，是一獨立隨機過程。故可作為純噪音的對應分布。
股市中的市場有效性理論，其理論假設之一就是認為股價變動遵從布朗運動或維納過程，如同醉漢散步。若如此，則從布朗運動的特性可知：股價變動是不可預測的，股價未來的增量與過去增量是無關的。如股市中人說：股市無過去！對於業內人士而言，這一假說簡直就是緊箍咒。
分形數學的誕生為解開這一緊箍咒提供了強有力的工具。當（2）式中的赫斯特指數H=1/2時，就是通常的布朗運動。曼得布羅特把（2）式中的H值從1/2推廣到（0，1）區間的任意實數，從而引進了分數布朗運動概念。則（2）式演變為（3）式，（推導過程略，並用B（t）取代X（t），以示分數布朗運動與布朗運動的區別）：
B（Δt）-B(0)=|Δt |H {B(1)- B(0)}~ |Δt |H (3)
(3)式的含義是：分數布朗運動粒子的位置增量與|Δt |H 成正比。這意味著分數布朗運動粒子的位置增量具有長程相關性。可以通過計算過去增量與未來增量的相關系數來定量表達。（推導過程略）其結果為：
C(t)=22H-1- 1 (4)
而赫斯特指數H與分形維數D之間的關系為：
D=2 – H （5）
上兩式表明：當H=1/2時（D=1.5 ），即是布朗運動，其相關系數C（t）=0 ; 這意味著無論何時布朗運動的過去增量與未來增量毫不相關。這正是獨立隨機遊走過程的特點。然而，對於H≠1/2，則C(t) ≠0.說明分數布朗運動與布朗運動有顯著的不同特點。此時的相關系數不受時間t制約，具有無限長的相關長度，這正是分數布朗運動最突出的特點。從維納的信息觀點看，分數布朗運動並非『純噪音』分布，而是含有一定的信息量。
當H>1/2 （D<1.5 ）時，分數布朗運動表現出持久性。此時如果在過去某段時間內增量為正，則在未來平均而言也會增加。換言之，過去的增長趨勢就意味著未來有增長的趨勢。反之亦然：過去的減少趨勢就意味著未來的平均趨勢也是繼續下降的。根據史永東博士的研究，他統計了滬市1991—1999的綜合指數數據，計算出滬市的赫斯特指數H=0.697。則我們據此可以計算出其分形維數D=1.303。並且可計算出股價未來增量與過去增量之間的相關系數：
C（t）=22H-1-1= 0.314
這就是說，股市運動是一種分數布朗運動。股市不是無過去，而是呈現出很大的相關性，用百分比表示達31.4%。換句話說，股市的過去蘊涵有未來走勢31.4%的信息。這31.4%的信息，正是在中國股市做預測的人士的安身立命之本。請注意中國股市作為新興市場，是一種正相關關系。
當H<1/2時（D>1。5），分數布朗運動表現出反持久性。此時如果在過去某段時間內增量為正，則在未來平均而言就會減少。換言之，過去的上漲趨勢就意味著未來有下跌的趨勢。反之亦然：過去的下跌意味著未來有上漲的趨勢。美國股市的分形維數D=1.7，正是如此。據此也可以算出美國股市的相關系數C（t）=22H-1-1= -0.242。也就是說，美國股市是一種負相關關系，與我國的股市有很大的不同。但是無論中外股市，都不是有效市場理論所說的是純粹的隨機漫步市場。市場的走勢是有跡可尋的，未來與過去是相互關聯的。
結 語
分形數學為股市分析提供了新理論，新方法，極大地拓展了投資者的視野。它廓清了一些以前爭論不休的問題，為股市分析預測正了名，使波浪理論的若干認識有了堅實的數學支持。而其得出的股市相關特性則為股價的偱環交替提供了科學解釋，而多元可公度關系的存在使得預測成為可能：如螺旋歷法曾指出1929年與1987年股災相隔717個朔望月。事實上，螺旋歷法的本質是時間分形。而且分形論所得結果指出了股市歷史蘊涵著未來走勢的豐富信息，未來走勢並非『黑箱』，而是有一定亮度的灰色系統。因此，如何提取信息，不管是何種方法，都應從分形的層次性角度審視這些信息。股市最重要的兩項要素是時間和價位，價位的波浪分析實際上是分形分析，但時間分形的分析預測則五花八門。預測學中的多元可公度預測方法和其他方法都是可以有所作為的。
H. 為什麼用幾何布朗運動描述股票價格
幾何布朗運動就是物理中典型的隨機運動，其特點就是不可預測，而在股市中的短期股票價格也是不可預測。
I. 有關布朗運動的知識
懸浮微粒不停地做無規則運動的現象叫做布朗運動
對於布朗運動的研究，1900年是個重要的分界線。至此，布朗運動的適當的物理模型已經顯明，剩下的問題是需要作出定量的理論描述了。
愛因斯坦的布朗運動理論
1905年，愛因斯坦依據分子運動論的原理提出了布朗運動的理論。就在差不多同時，斯莫盧霍夫斯基也作出了同樣的成果。他們的理論圓滿地回答了布朗運動的本質問題。
應該指出，愛因斯坦從事這一工作的歷史背景是那時科學界關於分子真實性的爭論。這種爭論由來已久，從原子分子理論產生以來就一直存在。本世紀初，以物理學家和哲學家馬赫和化學家奧斯特瓦爾德為代表的一些人再次提出對原子分子理論的非難，他們從實證論或唯能論的觀點出發，懷疑原子和分子的真實性，使得這一爭論成為科學前沿中的一個中心問題。要回答這一問題，除開哲學上的分歧之外，就科學本身來說，就需要提出更有力的證據，證明原子、分子的真實存在。比如以往測定的相對原子質量和相對分子質量只是質量的相對比較值，如果它們是真實存在的，就能夠而且也必須測得相對原子質量和相對分子質量的絕對值，這類問題需要人們回答。
由於上述情況，象愛因斯坦在論文中指出的那樣，他的目的是「要找到能證實確實存在有一定大小的原子的最有說服力的事實。」他說：「按照熱的分子運動論，由於熱的分子運動，大小可以用顯微鏡看見的物體懸浮在液體中，必定會發生其大小可以用顯微鏡容易觀測到的運動。可能這里所討論的運動就是所謂『布朗分子運動』」。他認為只要能實際觀測到這種運動和預期的規律性，「精確測定原子的實際大小就成為可能了」。「反之，要是關於這種運動的預言證明是不正確的，那麼就提供了一個有份量的證據來反對熱的分子運動觀」。
愛因斯坦的成果大體上可分兩方面。一是根據分子熱運動原理推導
是在t時間里，微粒在某一方向上位移的統計平均值，即方均根值，D是微粒的擴散系數。這一公式是看來毫無規則的布朗運動服從分子熱運動規律的必然結果。
愛因斯坦成果的第二個方面是對於球形微粒，推導出了可以求算阿
式中的η是介質粘度，a是微粒半徑，R是氣體常數，NA為阿伏加德羅常數。按此公式，只要實際測得准確的擴散系數D或布朗運動均方位 得到原子和分子的絕對質量。愛因斯坦曾用前人測定的糖在水中的擴散系數，估算的NA值為3.3×1023，一年後(1906)又修改為6.56×1023。
愛因斯坦的理論成果為證實分子的真實性找到了一種方法，同時也圓滿地闡明了布朗運動的根源及其規律性。下面的工作就是要用充足的實驗來檢驗這一理論的可靠性。愛因斯坦說：「我不想在這里把可供我使用的那些稀少的實驗資料去同這理論的結果進行比較，而把它讓給實驗方面掌握這一問題的那些人去做」。「但願有一位研究者能夠立即成功地解決這里所提出的、對熱理論關系重大的這個問題！」愛因斯坦提出的這一任務不久之後就由貝蘭(1870——1942)和斯維德伯格分別出色的完成了。這里還應該提到本世紀初在研究布朗運動方面一個重大的實驗進展是1902年齊格蒙第(1865——1929)發明了超顯微鏡，用它可直接看到和測定膠體粒子的布朗運動，這也就是證實了膠體粒子的真實性，為此，齊格蒙第曾獲1925年諾貝爾化學獎。斯維德伯格測定布朗運動就是用超顯微鏡進行的。
布朗運動代表了一種隨機漲落現象，它的理論在其他領域也有重要應用。如對測量儀器的精度限度的研究；高倍放大電訊電路中的背景雜訊的研究等
布朗運動與分子熱運動不一樣，與溫度和粒子個數有關，溫度越高，布朗運動越劇烈，粒子越少，分子熱運動越劇烈。