Ⅰ 概率基礎6：凱利公式——如何下注更容易賺錢
在投資領域，其實就兩個問題，買什麼和買多少。凱利公式解決的就是買多少的問題。
假設現在有一個簡單的賭局，拋硬幣，正面你贏得2元，反面你輸1元。你手上有100元應該怎麼下注？
這就需要用到凱利公式：
f = (bp-q)/b
f 下注比例；b代表賠率；p代表勝率；q代表敗率。
看不懂沒關系，含義很簡單。
下注比例 = 期望回報率/賠率
期望回報率 = 賠率*贏的概率 - 輸的概率
比如上面這個例子
期望回報率：
=0.5*2 - 0.5*1=0.5
賠率 = 贏的金額/輸的金額=2
所以，下注比例 = 0.25 = 25%
下注金額應該是25元。
再來看之前《期望和方差》中提到的一個問題。
一場賭局，贏的收益是100元，概率是50%，輸的損失是80元，概率是50%。應不應該參與？
之前算過期望：E=100*50% - 80*50%=10元。可以參與。 但是如果可以自由下注，應該投多少呢？這就可以用凱利公式來計算。
下注比例 = 期望回報率/賠率
賠率 = 1.25
期望回報率 = 1.25*0.5 - 0.5 = 0.125
下注比例 = 0.125/1.25 = 10%
投注比例是10%，也就是說假設你有100元，你投注的金額也應該是10元，而不是一次把100元全丟進去。
凱利公式已經在華爾街得到驗證，除了在賭場被奉為BOSS，也被稱為「資金管理神器」，是比爾格羅斯等投資大佬的心頭愛，巴菲特依靠這個公式也賺了不少錢。
根據這個公式：
1、期望值（bp-q）為0時，賭局為公平游戲，這時不應下任何賭注。
2、期望值（bp-q）為負時，賭徒不具備任何優勢，也不應下任何賭注。
3、期望值（bp-q）為正時，這時按照凱利公式投注賺錢最快，風險最小。
最終結論其實也很簡單，當期望為正的時候，才可以下注，而下注多少可以根據期望和賠率來計算。
Ⅱ 怎樣利用凱利公式玩壓大小
進行擲骰子的實驗，然後進行正態分布的檢驗，圖形化理解標准差等概念。
每次擲骰子的可能結果是在[1,6]的范圍內的，進行10000次嘗試，每次投10000次。
為什麼要檢驗正態分布，因為在頻譜派的統計概率分析中，大多數情況都是基於全概率分析，並假設全概率是正態分布的情況下的。
因此當你想對一組數據進行頻譜派的概率分析，你優先需要，對基礎數據進行分析，並得到正態分布這個前提。
舉個例子：股價往往是非正太分布的，因為它並沒有一個全概率的范圍。但是股票（中國）的收益率是有范圍的，范圍區間是[-10, 10]之內，而且往往是正態分布的，既然是正態分布的，那麼我們就能做很多有趣的概率實驗了。
Ⅲ 戰勝一切市場的人
《戰勝一切市場的人》 | 於利強解讀
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關於作者
愛德華·索普本身是一名數學家，但他最為人稱道的成就卻是在賭博和投資領域。他是橫掃拉斯維加斯各大賭場的賭神，也是量化投資的教父級人物，徹底改變了全球證券投資行業。
關於本書
這是愛德華·索普的回憶錄。在這個看似不理性的世界裡，索普始終理性思考，從校園、到賭場、再到華爾街，全都是大贏家。他證明，賭博、投資，甚至生活中的各種問題，都可以簡化為科學問題，只要通過一套簡易的演算法就可以破解。索普在書中揭秘了自己的解題過程和思維模型，這些模型將會幫你在人生各種難題面前，更聰明地思考和決策。
核心內容
不管是賭場還是股市，都有個主流觀點，就是你沒法戰勝莊家和市場。如果你做投資，業績還不錯，大概率只能算運氣還不錯。但只有找到有統計學意義的優勢並能重復獲利，才稱得上「戰勝市場」。那麼這可能做到嗎？如果能，那應該怎麼做？其中要用到哪些思維模型？
本期音頻，會通過三個問題的解答過程，帶你了解索普的思維模型。
一、怎樣才能擊敗賭場？
二、怎麼才能戰勝市場？
三、怎樣進行風險管理？
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首頁
你好，歡迎每天聽本書，本期音頻解讀的書是《戰勝一切市場的人》。這本書是愛德華·索普的自傳。索普本身是一名數學家，但他最為人稱道的成就卻是在賭博和投資領域。他是橫掃拉斯維加斯各大賭場的賭神，也是量化投資的教父級人物，改變了證券投資業的格局。
不管是賭場還是股市，都有個主流觀點，就是你沒法戰勝莊家和市場。注意了，業績優於市場與戰勝市場不是一回事。業績好可能只是因為運氣好，只有找到有統計學意義的優勢並能重復獲利，才叫戰勝市場。所以，如果你做投資，業績還不錯，大概率只能算運氣還不錯，不一定就算戰勝市場。
但是本書的傳主、也是本書作者，愛德華·索普認為，賭博和投資，都可以簡化為科學問題，更准確地說，是數學問題。他用數學的方法證明，玩家可以擊敗莊家，投資者也可以擊敗市場。他在理論上證明後，又一一實踐驗證：他先是在賭城拉斯維加斯大殺四方，贏了一大筆錢，還把方法公布於眾，成千上萬的賭客用索普的方法去賭城淘金，迫使賭場不得不修改規則。隨後，他又成功運營了一個對沖基金，獲得的投資收益堪比股神巴菲特，而且29年的職業生涯中沒有一年是虧損的，這點巴菲特都沒做到。
正因如此，索普敢說自己是「戰勝一切市場的人」。他總結出來的思維模型和方法，不僅可以用在賭博和投資領域，在人生的其他領域也同樣能用得上。
本期音頻，我會通過三個問題，帶你了解索普的思維模型。
第一個問題，怎樣才能擊敗賭場？
第二個問題，怎麼才能戰勝市場？
第三個問題，怎樣進行風險管理？
第一部分
我們先來看索普是怎麼擊敗賭場的。
很多科學家都注重研究理論，不太注重理論的應用。但是索普不一樣，他研究理論，但更關心用理論來解決實際問題。
索普從小就聰明過人，最感興趣的是做各種化學實驗，十幾歲就自己配炸葯玩。他家境貧寒，為了能上大學，通過幾個月時間自學，就得了全國物理競賽第一名，拿下了大學獎學金。他讀完物理學的本科和碩士，又繼續攻讀物理學博士。因為寫論文要用到很多數學知識，索普在自學數學的時候興趣再次轉向，轉而拿下了數學博士，並一路成為了數學教授。
大學教學之餘，索普熱衷於研究實際的數學問題，尤其是跟概率相關的賭博問題。他中學時，就聽到過這么一個說法，玩家不可能戰勝賭場，因為從概率來說，賭場長期是穩贏的。所有賭局的概率設計，賭場一方獲勝的概率要略大於50%，比玩家高幾個百分點。只要你一直玩，賭場就能最終把你的錢賺走。
歷史上也有很多著名的數學家，都熱衷於研究賭博游戲中的概率問題。但在索普之前，這些數學家的結論也基本都是，你不可能擊敗莊家。
但索普這個人有個特點，別人說的不作數，可不可能，得自己試過才知道。研究了一圈賭博項目，索普發現，所有賭場游戲中莊家優勢最少的、對玩家最友好的，是一個叫21點的游戲。但這個游戲中，莊家的勝率還是比玩家略高。
21點的規則說起來真的很簡單：每個人先拿到兩張牌，然後選擇繼續要牌還是不要。手中的牌點數相加，玩家盡量讓自己手上的牌接近21點，21點最大，但不能超過21點，超過就「爆牌」出局了。
他通過研究這個規則就發現，玩家獲勝的概率不固定，而是隨著發牌而發生變化。一副撲克陸續發牌，如果先出小牌，那麼在剩下的牌堆里大牌較多，而大牌多對莊家不利。因為規則是玩家可以隨時停止要牌，但莊家在17點以下，則必須繼續要牌。剩下的大牌越多，莊家越可能爆牌，賭客的勝率就越高。
這還是1959年，索普利用當時運算能力還極其有限的IBM大型電腦，推演了所有情況下的概率分布，發現玩家比莊家的勝率最高能多5個百分點。理論上，只有在勝率高過莊家的時候才下注，那就一定能擊敗莊家。
但是要去實戰，只算出理論概率顯然是不夠的。賭場不允許你帶電腦，也不允許你拖延時間，玩家只能憑借自己的大腦來快速算牌。索普將這個問題進一步簡化，並得出了一個簡便易行的算牌方法，叫「高低法」。我簡單給你介紹一下：低牌是2、3、4、5、6，算加1；中牌是7、8、9，算0；高牌是10、J、Q、K、A，算減1，總分加起來，結果越大，就表示前面出現過的小牌越多，剩下的牌對玩家越有利。
索普研究出致勝策略後，就跑去拉斯維加斯的賭場小試牛刀，證明策略可行，隨後他居然發表了論文，也引來了媒體關注。但這時，其實大部分人並不相信真的有擊敗莊家的方法，不僅有媒體質疑，賭場也來嘲笑索普只是個書獃子。
但隨後賭場就笑不起來了。索普拿著1萬美元，來到「賭城」拉斯維加斯，只用了30個小時，就賺了一倍多。這在當時已經算是比較大的金額，引起了賭場的注意。賭場開始用各種方法刁難他，比如增加洗牌的頻率，更換撲克牌，不賣大額籌碼給他，甚至還派上了作弊的發牌手。盡管有這樣那樣的干擾，索普仍然能贏錢。最後賭場使出殺手鐧，封殺這位常勝將軍，請你出去，別在我這里賭了。索普陸續登上了多家賭場的黑名單。
但賭場的噩夢才剛剛開始。索普隨後寫了一本書，揭秘自己的21點致勝策略，書名就叫《擊敗莊家》。這本書在1962年出版後，迅速成為暢銷書。成千上萬的算牌玩家用索普的方法去拉斯維加斯，只玩21點，這動搖了賭場的根基。賭場大佬們開會，有人提出直接做掉索普，但最後他們還是選擇了更文明的方式，修改游戲規則，重新掌握概率優勢。
之後索普喬裝改扮，陸續去過多次賭場。但連續贏錢的他，總是免不了逃脫賭場的重點關照。他在書中記錄了兩次驚險的經歷：一次是連續贏錢之後，喝了賭場送的酒水，出現了中毒症狀；另一次是在回程途中，下坡路上，車速高達100多邁，剎車失靈，差點翻車。
贏錢當然很好，但要冒著生命危險，這就不值得了。索普本人仍然是個數學教授，還要上課搞科研，於是放棄了賭博，況且策略得到充分驗證，他已經心滿意足了。
除了21點，索普還用數學方法去研究了其他賭博游戲。比如輪盤賭，去猜輪盤上轉動的小球會最後停在哪個數字格里。
輪盤賭本來是個純粹的賭博游戲，賭場占據絕對的概率優勢。但是索普認為，小球從高處下落，最終停止運動，這其實是一個物理問題啊，只要能記錄小球的運動軌跡和速度，就能算出落到哪個區域。
索普跟同事克勞德·香農，就是那位「資訊理論之父」，兩位科學家合作研發了人類歷史上第一台可穿戴電腦。這個電腦只有香煙盒大小，被嵌在鞋裡，腳指頭控制按鍵，電腦會計算出輪盤賭小球的軌跡，給出預測的結果。這個設備他們帶到賭場去實戰過，證明可行，但是礙於當時的技術、設備不成熟，比較容易出故障，就收起來了。
順便說一下，與索普合作的香農教授，是資訊理論及通信理論的奠基人，電腦中的二進制應用就是由他提出的。香農和索普一樣，是個非常有意思的科學家，每天聽本書還解讀了《香農傳》，解析了香農的思維方式，推薦你找來聽聽。
我們簡單總結一下第一部分的內容。索普運用概率思維，成功地破解了21點的秘密，實現了統計學意義上的擊敗莊家。
同時我們也知道了，賭場也在不斷地打補丁、修bug，重新確立概率優勢。總體來說，對於絕大多數人來說，要想不輸給賭場，最好的選擇就是不賭。
第二部分
擊敗賭場之後，索普的興趣開始轉向，那就是金融市場。
有人說股市就是賭場，這個話雖然不一定對，但投資和賭博確實有相通的地方。兩者都基於數學和概率分析，都需要平衡風險和收益，都需要管理倉位，都需要高度的理性。某種程度上來說，賭博就是簡化版的投資。既然在賭場這個博弈市場中可能通過數學獲勝，那在華爾街這個世界上最大的博弈市場中，數學家還能取勝嗎？
索普初次接觸金融投資的經歷並不美好。他一邊繼續教學工作，一邊把在賭場打牌和出書掙的錢投入了股市。但就像大多數散戶一樣，他主要是看報紙聽專家選股票，也像很多散戶一樣，很快就虧掉了一半錢。痛定思痛，索普重新思考這個問題，怎麼樣才能投資成功、實現統計學意義上的戰勝市場？
經濟學界盛行一套理論，叫有效市場論。這個理論認為，市場能充分反映所有已知的信息，股價也能立即反映所有新的信息，市場上的任何投資優勢都是有限、微小並且短暫的。結論就是，除了少數幸運兒，投資者無法戰勝市場平均收益；想要高收益，只能承擔高風險。
但對於索普來說，「市場無法戰勝」這種說法，同樣需要自己來試一試。他這次仍然用的是數學方法。
索普的思路是這樣的：選股票，需要研究公司基本面、消息面、技術面，還需要看宏觀微觀經濟，這些我都不擅長。那我擅長什麼呢？當然是數學。那投資有沒有可能變成一個純粹的數學問題？有沒有辦法既不用選股，又能抵禦股市大起大落的風險，還能獲得滿意的回報呢？
答案就是兩個字：對沖。對沖是指，你預測到某種風險的存在，就用另一種方式去抵消和降低這種風險。棺材鋪賣葯，死活都賺錢，這就是一種對沖。
金融投資中的風險對沖，就是用一項投資去降低另一種投資的風險。一般來說，這兩種投資需要相關度比較高，才能有效對沖掉風險。舉個例子，如果你要選股票，通用汽車和可口可樂兩家公司，差異性很大，遇到的風險也不同，這兩者之間很難做對沖交易。但如果一個是可口可樂，另一個是百事可樂，兩家公司面對的外部風險非常類似，你就只要判斷在同等外部環境下，哪個公司更好，然後買入好的那個，賣空差的那個，就能對沖掉大部分外部風險。
而索普的策略把這種風險對沖做到了極致，根本不用選公司。他只要找同一個公司發行的不同證券產品。這兩個產品高度趨同，同漲同跌，但是定價又有差價。這相當於同一個東西，在兩個地方，換了兩個名字，就賣出了兩種價格。有了這兩種產品，一邊買入便宜的那個，另一邊做空貴的那個。隨著時間的變化，市場長期來說還是會有效，越來越多的人發現了這種定價錯誤，資金像水一樣，會從高處流向低處。兩者間的差價逐漸消失，投資者就可以收獲利潤。
索普用這種方法，對美國電話電報公司AT＆T的新舊兩種股票進行了交易，大賺了一筆。當時，通信巨頭AT&T公司將要分拆，成為一個「新的」AT&T公司和7個「子公司」，原股東會收到新的8家公司的股票。但市場不喜歡老公司、更追捧新公司，所以同等的舊股票價格比新股票要低。索普於是借了一大筆錢買了原AT&T公司500萬股股票，同時做空相應數量的8家新公司股票。這是筆穩賺不賠的買賣，索普因此輕松賺到了160萬美元。
這種投資策略跟股市是否漲跌並沒什麼關系，所以被稱為是「市場中性」的策略。而事實上也確實如此。索普在29年中沒有一年是虧損的，包括幾次大股災，投資年均復合收益率堪比巴菲特。
當然，這個策略最大的難點在於，你得知道這兩種證券的定價，才能判斷它們之間有沒有機會。
比如最常出現的機會是在股票和期權之間。期權就是一張合約，有了它，你就有權在某個時間段里，以某個固定的價格，買入或賣出一種資產。比如股票期權，就類似賭未來股價的一張彩票，跟股價同漲同跌，走勢完全相同。
但是做對沖交易之前，你必須知道這個彩票實際值多少錢。這又是一個數學問題。經過一番計算，索普找到了這個彩票定價公式。經過計算，索普發現市場上存在大量定價錯誤的期權，只要有效利用它們，就能戰勝市場。這種藉助數學的方法，從海量數據中尋找投資機會的投資方式，就是我們經常聽到的「量化投資」。在《擊敗莊家》後，索普又寫了本書叫《擊敗市場》，這本書是量化投資的開山之作，也成為有史以來最有影響力的投資指南之一。
後來，索普仿照巴菲特的模式，建立了全球第一家採用量化投資策略的對沖基金。如今，量化投資已經是全球證券投資市場最重要的幾大派別之一。作為量化投資理論和實踐的先驅，索普徹底改變了證券投資行業。
索普後來又進一步完善了期權的定價方法，但他這次沒有公開，而是留下來悶聲發大財。後來，有另外三位數學家受索普的書啟發，也發現了這個期權定價公式，公開發表後，因此獲得諾貝爾經濟學獎。錯過諾獎的索普並不後悔，選擇本來就有得有失。
從1969年成立，到1988年意外關閉，索普管理的兩支基金，在19年裡的總回報率分別為27倍和15倍，年化平均回報率分別為18.8%和15.1%。作為對比，同期標准普爾指數上漲了5倍，年均增長率為10.2%。他的收益是遠遠跑贏標普指數的。在這19年期間，分別發生了1973年第一次中東石油危機，1979年第二次中東石油危機，還有歷史上單日跌幅最慘重的1987年黑色星期一股災，但是索普管理的基金從來沒有一個季度發生過虧損，更沒有年度虧損。索普再次證明，自己可以擊敗市場。
總結一下第二部分內容，索普使用風險對沖的策略，擊敗了市場，在風險極低的情況下，取得了高額投資回報。
不過索普的經歷，也證明了市場在一定程度上確實有效。同樣的投資策略會被越來越多的人發現和使用，投資收益率會逐漸降低，並趨近於市場平均水平。長期來說，擊敗市場還是很難的。索普也建議普通投資者，買指數基金，跟上市場平均收益，就能戰勝大部分人了。
第三部分
在本書的最後幾章，索普給普通投資者提了很多建議，我認為其中最重要的，就是他風險管理的方法。
索普本人極度厭惡風險。你別看他去拉斯維加斯賭博，後來又在華爾街管理資金，動不動就是幾億美元的大手筆。但他都是基於理性分析的穩贏策略，對於他來說，賭博和投資都不是運氣游戲，而是一種科學實驗，風險都很低。
作為數學家，索普的優勢是能在理論上推導出最優的策略。但實踐和理論之間還有一道鴻溝，就是現實的不確定性。輸的概率雖然低，但輸了之後結果會很嚴重。
20世紀60年代初，索普做了一筆白銀投資。當時他預計到白銀價格會大幅上升。在銀行的建議下，他借錢買入白銀。隨後白銀果然持續上漲，索普短期內賺了很大一筆錢，但這筆錢並沒有收進。在隨後白銀短期的波動，價格下跌達到1/3，在杠桿的作用下，虧損超過了本金，索普爆倉了，這筆投資全部虧光。這件事情，讓索普在之後的50年職業生涯，始終把風險管理當做最主要的事。
判斷對了，但是卻虧光了錢。問題出在哪裡？對於賭徒和投資者來說，如果投資策略沒問題，那主要的關鍵就是怎麼下注，或者叫倉位管理，這也是風險管理的核心問題。
賭注太小，贏得不夠；賭注太大，隨時爆倉。一旦輸光，即使遇到100%能贏的機會，也沒法再翻盤了。
那有沒有一種最佳的下注策略呢？既能獲得比較高的收益，又不用冒太大的風險。
還真的有。在共同完善21點賭博策略時，索普經香農教授提醒，了解到了凱利公式。
凱利公式的發現者是物理學家約翰·凱利，這是一個關於如何下注的策略。這個公式是這樣的：下注比例 = 勝率/賠率。勝率是你能比莊家多的優勢；賠率是每1塊錢的預期收益。根據凱利公式，你只要計算出賠率，計算出獲勝的概率，那麼你就能知道要拿當前資金的多少比例去下注。
索普就是這么玩的。他帶著1萬美金，去拉斯維加斯。勝率不利時按賭場的最小下注額下注，勝率有利時增加下注，最大下注500美元，也就是總金額的5%。在賭場，贏的人總是迷信手氣而加大賭注，輸的人則期望下一把翻本。可索普不相信手氣，只相信數學，始終堅持用凱利公式下注。這是他每次都能贏錢的秘密。數學證明，根據凱利公式下注，有兩大好處：一是在長期中能獲得最高的復利增長率；二是永遠不會輸掉全部本金。
凱利公式這么重要，但在本書中，索普甚至沒有在正文中列出凱利公式的方程式。我推測，這是因為公式背後的思維方式比公式本身更加重要。在生活中，概率和賠率並不可能像賭桌上那麼清楚，但你可以通過凱利公式的兩條原則，提升決策的有效性：
第一，根據勝率和賠率下注，勝率越大、風險越小，賭注越大；
第二，除非有100%的勝率，別全部押上。
索普把這個公式運用到自己之後的賭局和投資中，也正是因為他的使用和推廣，凱利公式成了金融界的香餑餑。股神巴菲特、股神搭檔查理·芒格、債券之王比爾•格羅斯等人，都曾明確表示，自己在風險管理中，使用到了凱利公式。
查理·芒格說過：「當世界給予你機會的時候，聰明的投資者會下重手。當他們具有極大贏面的時候，他們會下大注。其餘的時間里，他們做的僅僅是等待，就這樣簡單。」芒格的話，其實就是凱利公式所表達的意思。
但在華爾街，並不是所有人都能認識到風險管理的重要性，到處都是用高風險博取高回報的案例，其中不少慘痛的教訓。長期資產管理公司就是個經典的反例。
長期資產公司一度是華爾街的超級夢之隊。合夥人中包括多位知名經濟學家，其中就包括發現期權定價公式的兩位諾貝爾獎獲得者。長期資產的人，還曾問過索普是否有興趣參加，或者投資，索普拒絕了。他認為長期資產的領頭人偏好高風險，自己並不喜歡；而且他認為長期資產的合夥人們，缺乏實際投資經驗，難保不是紙上談兵。
長期資產創立於1994年，在前幾年每年收益都高達30%以上。但它的高收益建立在高杠桿高風險上。它的杠桿率在30倍到100倍之間浮動，不到1%的利潤可以放大到約40%的利潤。但是一旦市場下跌3%，本金就會全部虧光。據這幫經濟學家的測算，虧光的概率不到萬分之一，但這種小概率事件恰恰就發生了。1998年，長期資產公司在不到四個月內虧掉46億美元，幾乎虧光了本金，隨後倒閉。索普的評價是：「這幫人下注太多，釀成了大禍。」
想要完完全全應用凱利公式，需要知道收益結果的確切概率。在大部分賭場中你預先可以估計到自己的勝率。而在現實投資中，這種勝率很難估計，而投資者天生又會過度樂觀和悲觀。你認為70%勝率的投資，可能實際只有55%的勝率。面對這種情況，索普的辦法是，再保守一些，用比凱利公式算出的結果更小的比例去下注。
索普警告，對於那些聲稱100%賺錢、而且收益率還很高的項目，尤其要睜大眼睛。
索普就親自揭露過這樣一個騙局。1991年，有一家投資公司請索普來幫忙，檢查公司的投資組合有沒有問題。索普經過梳理發現了組合中有個基金不太正常。這個基金持續10年每年收益都高達20%以上，而且每個月都是賺錢的。索普詳細詢問了基金經理的投資策略後斷定，這是個騙局。根據他的計算，按照這種策略，基金不可能每個月都賺錢，肯定應該有賠錢的月份。
帶著自己的懷疑，索普將這位基金經理的買賣記錄與市場上當天真正的交易量做了對比，發現交易記錄是偽造的，很多交易根本不存在。投資公司在索普的建議下，把錢拿了回來。由於監管機構的漠視，這起騙局後來又持續了17年，而且越來越大。直到2008年金融危機期間，因為資金鏈斷裂，騙子才被正式揭露。這就是「世紀巨騙」麥道夫，這起騙局詐騙金額超過600億美元，受害客戶4800名，其中還有很多名人政要。
總結一下第三部分，索普進行風險管理的主要工具，是凱利公式。簡單來說，勝率越高，下注越大，但別全押。公式背後的思維方式比公式本身更加重要，因為生活中面臨的選擇，勝率和賠率都不那麼容易算清楚。
總結
好的。總結一下本期音頻，我們用三個重點問題，帶你了解了索普的故事和他的思維模型。
第一、怎麼擊敗莊家？索普主要的思維模型是概率統計。索普從不輕信已有的結論，而是親自去驗證；他也不相信什麼運氣，而是尋找統計學意義上的解決之道。
第二、怎麼擊敗市場？索普主要的思維模型是風險對沖。排除無法判斷的情況，對沖掉自己無法掌控的風險，用自己最擅長的數學方法，成功獲利。
第三、怎麼控制風險？索普主要的思維模型是凱利公式。勝率越高，下注越大；除非有100%的勝率，千萬別全押。最大的風險不是輸錢，而是爆倉。
愛德華·索普的故事，此前王爍老師在《大學·問》和《30天認知訓練營》中都曾講述過。王爍給索普總結的打法中有一條，就是：始終保持理性，不是只在某個科學領域里保持理性，而是在與世界打交道的所有方面都保持理性。所以，索普才能從校園、到賭場、再到華爾街，全都是大贏家。甚至在找尋伴侶的過程中，他也是用理性的思考，得出了結婚的結論，並換來了長達60年的美滿婚姻。
無獨有偶，查理·芒格也曾說過，自己成功的秘訣如果只用一個詞來說，就是「理性」。你必須先維持理性，才能夠讓知識得到有效的應用。沒有理性，知識、耐心這些東西，都沒有用。盡管我們很難復制索普和芒格的奇跡，但我們卻可以學習他們生活中的理性。
撰稿：於利強
腦圖：摩西腦圖工作室
轉述：孫瀟
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Ⅳ 如何用凱利公式計算單一股票的倉位
倉位=P-（1-P）/（（收益期望值）/（虧損期望值））
=P-（1-P）*（虧損期望值）/（收益期望值）
Ⅳ 股市進階之道——一個散戶的自我修養（讀書筆記一）
這是一本我讀過的國人寫的最通俗易懂的價值投資入門書，比起國外的價值投資分析著作更能提起閱讀興趣，也更能起到實際的指導作用。作者李傑，2006年進入股市，2008年正式轉為職業投資人，2009年以水晶蒼蠅拍為筆名在網路上發表投資雜談，2013年其微博瀏覽量超過1700萬次。本書2014年4月第一版，2015年1月已是第9次印刷，可見此書的暢銷程度。八年時間作者能寫出如此有見地的著作，不得不佩服此人超強的學習能力和總結歸納能力。
作者的寫作初衷是幫助散戶在浩如煙海的投資著作中提煉關鍵知識點，並在此之上建立系統的投資觀念。因此，本書構思了三大認知版塊，即正視投資、發現價值、理解市場。這三大部分分別對應著投資之道（個人投資觀），價值之源（企業價值分析），和估值之謎（市場波動）。本書努力將概率思維、辯證思維和逆向思維這三個在投資中最重要的思維方式穿插到每一個重要的部分，讓廣大散戶能夠通過學習一步一步取得自我提升。主要內容分述如下：
第一部分：正視投資（個人投資觀的形成）
一、有關股市的三個事實
1、低門檻與高壁壘
股市這個游戲進入門檻非常低，只要去證券公司開一個賬戶，足不出戶就可完成交易，沒有學歷、年齡的限制，不受天氣和地理的局限，可以說，進入股市幾乎沒有任何門檻。但就像免費的就是最貴的一樣，低門檻的另一面是真正的獲利者面臨極高的壁壘。
如果股票投資是一個職業（即便只是一個兼職），那麼這個職業一個突出的現象就是從業者的教育背景五花八門，且進入這一行基本沒有系統的學習和培訓。由此導致的結果就是股市的一賺二平七虧之說。
股市是一個少數人獲勝的游戲，那麼獲利的高壁壘到底在哪裡呢？
股價=每股收益*每股估值，所以股市獲利的兩個關鍵變數是：公司未來的業績走向和市場給予公司的估值（PE，市盈率）。那麼問題來了，對這兩個關鍵變數的判斷和把握是一件簡單和容易的事情嗎？毫無疑問這遠非那麼簡單，這就是高壁壘所在。
至少面臨三重困難：企業經營業績的不確定，市場定價的復雜性，市場對人性弱點的放大。
這三大挑戰也成了股市中成功的最大壁壘，也是我們要刻意去鍛煉的三大能力：敏銳的商業判斷力、對市場定價機制的深刻認識、強大的自我意識，克服人性弱點。基於此，可以把投資能力分成四個等級：
第一等：三大能力皆備，必為一代投資大家。
第二等：一項突出，其他兩項沒硬傷，可以獲得可觀的投資回報，財務自由不是夢。
第三等：一項突出，其他兩項有硬傷，業績容易大起大落，運氣佔比較大。
第四等：三項能力都很弱，屬於股市中永遠的炮灰和大多數。
2、股市也沒那麼可怕
高壁壘也不意味著股市真有那麼可怕。做投資某種意義上說是在尋找超額收益的「小概率事件」。但這種小概率不是毫無規律，像彩票一樣的隨機波動。而是因為市場里真正具備上述三大能力的人少之又少。一旦你踏出這一步，你就會發現沿著這條路走下去，投資成功恰恰是某種「大概率事件」。
另一方面，每個家庭的財富都面臨一個共同的敵人——通貨膨脹。30年前萬元戶算是大富翁，但現在1萬元勉強只夠一次出國旅行的費用。
如果以1-2年的周期來看，股票的波動范圍確實非常大，但如果拉長到20-30年，股票的收益相比於債券和儲蓄有更大的優勢。國外一個教授研究了1802—2006各類主要資產的實際回報，顯示股票的回報高達75萬多倍，而現金的購買力已經縮水到原來的6%。
3、遠離「大多數人」
既然股市是一賺二平七虧，我們就應遠離七虧的大多數人。也即巴菲特據說的在別人貪婪時要恐慌，在別人恐慌時要貪婪。
二、你其實也有優勢
散戶和機構比並非一無是處，散戶也有自己的優勢，應該學會揚長避短。機構的優勢在於豪華的團隊和各種專業資源。但背後也有巨大的弱勢，即精力分散，不夠專注，業績考核的短期化，擔心職業風險，容易喪失獨立判斷。相反散戶可以把精力集中在一個行業的一兩家公司進行深入的分析，從長遠、全面的角度得出更准確的結論。
有人會說專業知識是繞不過去的東西，那麼是否在研究相關企業時會面臨一堵專業知識構成的牢不可破的牆呢？事實並非如此。如果沒有對投資基本規律這個「1」的充分掌握，則類似專業知識這種無數的「0」就沒有太多的意義。而投資的基礎專業知識自學完全沒有問題，再多讀一些心理學、歷史方面的會更好。
三、捅破投資的「窗戶紙」
綜合考慮高壁壘和自身的優勢，如果我們以投資者的心態進入市場，應該怎麼做呢？以下幾點僅供參考：一、理解什麼才是真正的投資行為；二、認識投資應遵循的原則；三、避開坑人的陷阱；四、循序漸進地提升自己的能力。
1、投資、投機與賭博
對投資者來說成功的關鍵是理解資產價值和衡量的普適規律，而對投機者而言則需要敏感於各種變化和轉換中稍縱即逝的機會。以一個較長的周期來看，股市中有成功的投機者，必然存在更多成功的投資者，卻沒有成功的賭徒。
2、易學難精的價值投資
郭德綱曾說：京劇就像一座大山你能一眼看出高來就不敢往上爬了。但相聲你乍一看就是一個小土坡，但你爬上去發現後面有一個高的坡，再爬又有一個更高的，再爬還有。某種程度上價值投資和相聲的狀況很相似。
3、價值投資的基石：
（1）從企業視角看投資
（2）確定自己的能力邊界
（3）了解「市場先生」的脾氣
（4）謹守安全邊際原則
（5）建立有效的自控能力
4、把預測留給神仙
幾乎所有的投資大師都會有兩個完全相同的忠告：第一、不要預測市場，第二、不要頻繁交易。
5、跨過「投資的萬人坑」：歸納了一些容易犯的投資錯誤供參考。
6、投資修煉的進階之路：四個階段
（1）投資世界的歷史和基本理念及原則
（2）企業價值分析的框架和方法論
（3）市場定價機制及長期運行規律
（4）對投資中多種要素的融合及綜合運用
四、像勝出者一樣思考
投資史上有很多傑出的投資家，他們在股票的選擇標准上可能千差萬別，在操作模式上也經常大相徑庭，但在這些差異背後，某些思想原則卻高度一致，這些大師們的思維方式和投資價值觀，對每一個投資者來說都價值千金。
1、製造你的「核武器」
復利是投資世界的核武器，做投資的人如果不懂復利，就像廚師不會掌握火候，士兵上了戰場卻不帶武器一樣不可思議。
復利有三個關鍵要素：本金、收益率、持續時間。
創造世界投資奇跡的巴菲特的復合收益率也不過22%，但是他持續了50年之久，這一點全球無人能及。巴菲特自1957年正式開始專業投資至今的50多年裡，只有一年的業績增長超過50%（1976年59.3%），而驚人的是，在50多的投資生涯中只有兩個年份是負增長（2001年-6.2%，2008年-9.6%）
長期良好復利的獲利其實是一件非常艱難的任務，主要在於在投資過程中一旦出現大幅虧損，就會對最終收益造成破壞性的影響。所以復利用嚴謹的數學法則告訴我們：抑制虧損是投資取得成功的第一要務。
2、下注大概率與高賠率
凱利公式：倉位=（賠率*贏的概率--輸的概率）/賠率
賠率雖然重要，但獲勝概率才是最關鍵的因素。通常來講，大概率和高賠率更容易出現在以下兩種情況下：
一是有廣闊前景和優秀盈利能力的公司，在現階段尚未被市場充分理解，二是市場對一個只是暫時陷入困境的企業過分悲觀，從而給出超低價。前一種賺的是比別人看得准、看得遠的撿漏錢，後一種賺的是市場情緒失控送的錢。
3、聰明的承擔風險
投資中的風險主要來自於以下幾個方面：無知風險、復雜和不可知的風險、被忽略的致命小概率風險、無法有效把握機會的風險。
試圖規避一切風險是不可能也不合理的，關鍵在於將風險控制在可承受的范圍內，並且在較低的風險系數下尋求具有吸引力和可持續的盈利機會補償。
4、深入骨髓的逆向思維
巴菲特的「別人恐懼我貪婪，別人貪婪我恐懼」已深入人心，他的搭檔芒格說：把事情反過來想，總是反過來想。反過來思考可能讓人豁然開朗。
逆向思維看起來並沒什麼技術難度，但實際上是非常困難的。逆向的前提是獨立和理性。逆向並不總會帶來正確的結果，特別是當趨勢還遠未到達轉折點的時候。「為了逆向而逆向」更是容易招致主動性的錯誤。
5、以退為進的長期持有
長期持有實際上是一種以退為進的選擇：放棄復雜不可測的部分，抓住確定性回報的部分。有過一個統計：從1926到1996的70年間，股票的所有報酬幾乎都是在表現最好的60個月里創造的，只佔時間的7%而已。問題是我們並不知道是哪些月份，其中的教訓是閃電打下來時，你必須在場。
6、會買的才是師傅
有一句流傳很廣的話叫作「會買的是徒弟，會賣的才是師傅」。仔細想想，果真如此嗎？
五、認知偏差與決策鏈
投資決策所涉及的環節比我們想像的要復雜，在每一個環節上都可能出現重大的認知偏差，從而導致決策所依據的某個關鍵假設偏離了事實和真相。
1、隱形的決策鏈
人們的決策鏈沿著「事實→信息→觀點→判斷→理念→信仰」這幾個層次逐漸展開並且自我認同越來越強大的。熟練的投資者善於區分不同階段並能理性地循序漸進地推進最終決策的形成。
2、讓大腦有效運作
阻礙大腦正常運作的障礙主要有：
（1）先入為主的想當然：行業龍頭是否名符其實？
（2）屁股決策腦袋：你的倉位決定了你的看法
（3）真實的偏頗：盲人摸象般得到的信息不全
（4）超出能力圈的復雜判斷
（5）專業自負與燈下黑
（6）頑固的心理弱點:錨定效應、羊群效應
3、跨過信息的羅生門
盡量確保一筆投資決策是建立在一個基本面的長期趨勢上，而非碎片化信息的組合，這樣就不容易被突發事件和不明信息所干擾。
保持信息的客觀完整，如果得到的信息只反映部分，由此可能形成一個真實但片面的判斷。
大多數的內部信息不如沒有，因為一方面不靠譜，另一方面還會給投資者一種特別靠譜的假象和心理暗示。
即使信息量及來源一樣，信息的解讀能力也有天壤之別。投資中的信息按照獲利的困難程度劃分為三個層次：已知的、可知的和未知的信息。
說到底，克服認識偏差和決策鏈過程中信息扭曲的根本方法在於：搞清楚並且強化自己的能力圈，堅持在能力范圍內，建立起一套有效評估企業價值的方法體系，對生意、企業、投資建立起框架性的思維方法。
Ⅵ 賭博到最後只有輸，無法戰勝的「凱利公式」到底是什麼
凱利公式是f*=(bp-q)/b
其中f*=應投注的資本比值
p=獲勝的概率（看每一次賭博的玩法而決定，例如拋硬幣，硬幣只有兩面，那麼開出每一面的比例都是50%，即0.5，以此類推）
q=失敗的概率，即1-p（還是以拋硬幣舉例，即q是開出你下注的反面的概率）
b=賠率，等於期望盈利÷可能虧損（即盈虧比）
bp-q=期望值，也即我們常說的「贏面」
凱利公式是用於計算在每一次的賭博（下注）時，應該押注多少才能保證自己收益最大化的公式，若果能正確算出f*，並嚴格按照這個數目下注，你的運氣會比對數字一無所知、下注全憑感覺的賭徒更長久一些。但是請記住，所有的賭博游戲，都是對賭徒不利的，只要你一天不遠離賭博，等待你的只有輸，一切都只是時間問題。
從這個公式看出，賭博要贏不是不行，但是非常之難，想不輸最好的方法就是不賭。
Ⅶ 凱利公式教你如何用正確的方法投資
凱利公式志在解決的問題
假設賭局1:你贏的概率是60%，輸的概率是40%。贏時的凈收益率是100%，輸時的虧損率也是100%。也即，如果贏，那麼你每賭1元可以贏得1元，如果輸，則每賭1元將會輸掉1元。賭局可以進行無限次，每次下的賭注由你自己任意定。問題： 假設你的初始資金是100元，那麼怎麼樣下注，即每次下注金額占本金的百分之多少，才能使得長期收益最大？
對於這個賭局，每次下注的期望收益是下注金額的60%*1-40%*1=20%，期望收益為正。也就是說這是一個對賭客占優的賭局，而且佔得優勢非常大。
那麼我們應該怎麼樣下注呢？
如果不進行嚴密的思考，粗略的想像一下，我們會覺得既然我每次賭的期望收益是20%，那麼為了實現長期的最大收益，我應該在每次賭博中盡量放入更多比例的本金。這個比例的最大值是100%。
但是顯然每一局賭博都放入100%的本金是不合理的，因為一旦哪一次賭博賭輸了，那麼所有的本金就會全部輸光，再也不能參加下一局，只能黯然離場。而從長期來看，賭輸一次這個事件必然發生，所以說長期來看必定破產。
所以這里就得出了一個結論： 只要一個賭局存在一下子把本金全部輸光的可能，哪怕這個可能非常的小，那麼就永遠不能滿倉。 因為長期來看，小概率事件必然發生，而且在現實生活中，小概率事件發生的實際概率要遠遠的大於它的理論概率。這就是金融學中的 肥尾效應 。
繼續回到賭局1。
既然每次下注100%是不合理的，那麼99%怎麼樣。如果每次下注99%，不但可以保證永遠不會破產，而且運氣好的話也許能實現很大的收益。
實際情況是不是這個樣子呢？
我們先不從理論上來分析這個問題，我們可以來做個實驗。我們模擬這個賭局，並且每次下注99%，看看結果會怎麼樣。
這個模擬實驗非常的簡單，用excel就能完成。請看下圖：
如上圖，第一列表示局數。第二列為勝負，excel會按照60%的概率產生1，即60%的概率凈收益率為1，40%的概率產生-1，即40%的概率凈收益為-1。第三列為每局結束時賭客所有的資金。這個實驗每次下注倉位是99%，初始本金是100，分別用黃色和綠色標出。
大家從圖中可以看出，在進行了10局之後， 10局中贏的局數為8，比60%的概率還要大，僅僅輸了兩次。但即使是這樣，最後的資金也只剩下了2.46元，基本上算是輸光了。
當我把實驗次數加大，變成1000次、2000次、3000次……的時候，結果可想而知了，到最後手中的資金基本上是趨向於0。
既然99%也不行，那麼我們再拿其他幾個比例來試試看，看下圖：
從圖中可以看出，當把倉位逐漸降低，從99%，變成90%，80%，70%，60%的時候，同樣10局的結果就完全不一樣了。從圖中似乎可以看出隨著倉位逐漸的變小，在10局之後的資金是逐漸變大的。
大家看到這里，就會漸漸的發現這個賭局的問題並不是那麼簡單的。就算是賭客占優如此之大的賭局，也不是隨隨便便都能贏錢的。
那麼到底怎麼下注才能使得長期收益最大呢？
是否就像上圖所顯示的那樣，比例越小越好呢？應該不是，因為當比例變成0的時候顯然也不能賺錢。
那麼這個最優的比例到底是多少呢？
這就是著名的凱利公式所要解決的問題！
凱利公式介紹
其中f為最優的下注比例。p為贏的概率。rw是贏時的凈收益率，例如在賭局1中rw=1。rl是輸時的凈損失率，例如在賭局1中rl=1。注意此處rl>0。
根據凱利公式，可以計算出在賭局1中的最有利的下注比例是20%。
我們可以進行一下實驗，加深對這個結論的理解。
如圖，我們分別將倉位設定為10%，15%，20%，30%，40%。他們對應的列數分別是D、E、F、G、H。
當我把實驗次數變成3000次的時候，如下圖：
當我把實驗次數變成5000次的時候，如下圖：
大家從兩幅圖中可以看到F列對應的結果最大，和其它列相比壓根就不是一個數量級的。而F列對應的倉位比例正是20%。
大家看到凱利公式的威力了吧。在上面的實驗中，如果你不幸將比例選擇為40%，也就是對應H列，那麼在5000局賭博之後，你的本金雖然從100變成了22799985.75，收益巨大。但是和20%比例的結果相比，那真是相當於沒賺錢。
這就是知識的力量！
凱利公式理解
凱利公式的數學推導及其復雜，需要非常高深的數學知識，所以在這里討論也沒有什麼意義。哎，說白了其實就是我也看不大懂。在這里我將通過一些實驗，加深大家對凱利公式主觀上的理解。
我們再來看一個賭局。賭局2： 你輸和贏的概率分別是50% ，例如拋硬幣。贏的時候凈收益率為1，即rw=1，輸的時候凈損失率為0.5，即rl=0.5。也就是說當你每賭一元錢， 贏的時候你能再贏1元，輸的時候你只要付出去5毛。
容易看出賭局2的期望收益是0.25，又是一個賭客存在極大優勢的賭局。
根據凱利公式，我們可以得到每局最佳的下注比例為：
也就是說每次把一半的錢拿去下注，長期來看可以得到最大的收益。
下面我要根據實驗得出平均增長率r的概念。首先來看實驗2.1，如下兩張圖：
這兩張圖都是模擬賭局2做的實驗，在第二列的勝負列中，實驗會50%的概率產生1，表示盈利100%。50%的概率產生-0.5，表示虧損50%。第三第四列分別是在倉位為100%和50%下每次賭局之後所擁有的資金。
仔細對比兩張圖可以發現結論一，亦即 在經過相同次的局數之後，最後的結果只與在這些局數中贏的局數的數量和輸的局數的數量有關，而與在這些局數中贏的局和輸的局的順序無關。 例如在上兩幅圖中，同樣進行了4局，同樣每幅圖中贏了兩局輸了兩局，但是第一張圖的輸贏順序是贏輸輸贏，第二張圖的輸贏順序是輸贏贏輸。它們最終的結果都是一樣的。
當然這個結論非常容易證明（乘法交換律，小學生就會），這里就不證明了，上面舉的兩個例子足夠大家很好的理解。
那麼既然最終的結果和輸贏的順序無關，那麼我們假設賭局2如實驗2.2一樣進行下去，看下圖：
我們假設賭局的勝負是交替進行的，由於結論一，從長期來看這對結果資金沒有任何影響。
在自己觀察圖片之前我們先做一個定義。假設將某幾局賭局視為一個整體，這個整體中各種結果出現的頻率正好等於其概率，並且這個整體的局數是所有滿足條件整體當中局數最小的，那麼我們稱這個整體為一組賭局。例如在上圖的實驗中，一組賭局就代表著進行兩局賭局，其中贏一次輸一次。
仔細觀察上圖中藍色標記的數字，它們是一組賭局的結尾。你會發現這些數字是保持著穩定的增長的。當倉位是100%時，藍色標記數字的增長率是0%，即一組賭局之後本金的增長率為0%。這也解釋了當每次都滿倉下注的時候，在賭局2中長期來看是無法賺錢的。當倉位是50%（即凱利公式得出的最佳比例）時，藍色標記數字的增長率是12.5%，即一組賭局之後本金的增長率為12.5%。
這是一個普遍的規律，每組賭局之後的增長率與倉位有關。且每組賭局之後的增長率越大，那麼長期來看最終的收益也就越多。
根據每組賭局的增長率可以計算出每個賭局的平均增長率g。在上面的圖中，每組賭局之中包含兩個賭局，那麼每個賭局的平均增長率
其實這個r是可以通過公式算出來的。
從長期來看，想要讓資本得到最大的增長，其實只要讓r最大，也即讓g最大化。而最佳下注比例f其實也是通過求解max(g)的出來的。
凱利公式其他結論——關於風險
凱利傳奇（本節內容來自互聯網）
凱利公式最初為 AT&T 貝爾實驗室物理學家約翰·拉里·凱利根據他的同僚克勞德·艾爾伍德·夏農於長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利解決了夏農的資訊理論要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭注金額，而他的內線消息不需完美（無雜訊），即可讓他擁有有用的優勢。凱利的公式隨後被夏農的另一名同僚愛德華·索普應用於二十一點和股票市場中。
索普利用工作之餘，通過數個月的艱苦演算，寫了一篇題為《「二十一點」優選策略》的數學論文。他利用自己的知識，一夜之間「奇襲」了內華達雷諾市所有的賭場，並成功的從二十一點賭桌上贏得了上萬美元。他還是美國華爾街量化交易對沖基金的鼻祖，70年代首創第一個量化交易對沖基金。1962年出版了他的專著《打敗莊家》，成為金融學的經典著作之一。
運用展望
如何利用凱利公式在現實生活中賺錢？那就是要去創造滿足凱利公式運用條件的「賭局」。在我看來，這個「賭局」一定是來自金融市場。
近期我一直在做交易系統的研究， 對於一個優秀的交易系統來說什麼是最重要的？一個期望收益為正的買賣規則佔到重要性的10%，而一個好的資金控制方法佔到了重要性的40%，剩下的50%是操控人的心理控制力。
而凱利公式正是幫助我進行資金倉位控制的利器。
比如說之前我研究出的一個股票交易系統，該系統每周進行一次交易，每周交易成功的概率是0.8，失敗的概率是0.2。當成功的時候可以賺取3%（扣掉傭金，印花稅），每次失敗時虧損5%。在不知道凱利公式之前，我都是盲目的滿倉交易，也不知道我這個倉位設定的對不對，心理很虛。在運用凱利公式之後，計算的最佳的倉位應該是9.33，就是說如果借款利率是0的話想要得到最快的資金增長速度就要使用杠桿交易，通過公式計算得到每次交易的平均增長率r約等於7.44%，而滿倉交易的平均資金增長率為r約等於 1.35（其實也就是期望收益）。通過實驗模擬之後也發現確實杠桿交易比滿倉交易資金增長的速度要快的多。這也讓我更好的理解了為什麼很多量化投資基金公司需要使用杠桿交易。
當然凱利公式在實際的運用中不可能這么的簡單，還有很多的困難需要克服。比如說杠桿交易所需要的資金成本，比如說現實中資金並不是無限可分的，比如說在金融市場並不像上文提到的簡單的賭局那麼簡單。
但是不管怎麼樣，凱利公式為我們指明了前進的道路。
Ⅷ 凱利公式 如何應用到股市中
凱利公式 是一條用在期望值很高的投資和投賭中的規則。該公式必須應用在實際增長率相當高，永遠不會導致完全損失所有資金的情況。它假設下賭可無限次進行，而且下注沒有上下限,這就要看你的眼光了
Ⅸ 如何利用凱利公式控制股票倉位
在我們去進行股票，期貨投資的時候，經常聽到有人說到金字塔加倉法，當虧損的時候，每次虧損都加大我們的倉位到原來的總倉位的兩倍，這樣，一方面可以攤薄我們的平倉持倉成本，另一方面，當行情反轉的時候，我們就更容易回本，甚至收回收益；而當盈利的時候，我們去增加倉位就需要小心，可以每次增加倉位為原來的 1/2，因為股價高的時候，它回落起來也更容易，因此，我們以比較小的倉位去進行加倉，可以避免我們的持倉成本太高。
乍一聽，是這么一回事，而且不少我們投資者也會採用這樣的辦法去應對自己的投資策略。但是，這樣做是否合理，能不能從數學，從數據模擬上針對我們這樣的投資策略去進行一個合理的分析呢？這里，筆者試圖以擲硬幣為例，來介紹鞅與反鞅策略。對於擲硬幣，這里做一個假定，假如正面為贏，反面為輸，贏的話，可以得到多一枚硬幣，輸的話，付出的硬幣就此輸去。
鞅策略
有一種投注方法，當我們每次輸了的時候，那麼我們下次就加倍投注，譬如，第一次如果投入一枚硬幣，那麼下一次我們就投入兩枚硬幣，贏了的話，我們不僅可以將輸了的一枚硬幣成本覆蓋，還能多賺一枚；如果還是輸的話，那麼下次我們投注 4 枚硬幣，贏了的話，不僅可以覆蓋我們付出的 3 枚硬幣，還能多賺一枚硬幣；以這 樣的策略一直往下，如果能贏，我們總是能多贏一枚硬幣。
但是，這樣的策略隱含了一個假設，那就是它默認我們的資金是無限的，當連續輸的情況出現的時候，是否還堅持這樣的策略，哪怕我們仍然想堅持，但是本金可能不足夠了。譬如，假設我們有100 枚初始硬幣，經過這樣的 擲硬幣**，如果出現連續7次皆負的情況，我們的本金就全部輸掉了。也許你會認為，連續7次硬幣都出現反面概率不大，但是，當我們參與這樣的**次數足夠多的時候，連續7次 或更多次硬幣出現的概率會變得非常大，譬如，擲一百次硬幣實驗中，連續7次或更多次出現反面的概率是：
因此，當我們知道了賠率，勝率，完全可以利用凱利公式對我們的投資進行指導，去獲得更多的收益。譬如，讀者可能已經發現了，在我們採用反鞅策略去進行**的時候，一開始風險加大的時候，收益變多；但是超過某個閾值的時候，很容易就破產，這里，我們採用凱利公式計算一下，在我們之前舉例的情況下，投注最佳比例是多少？
在示例中，擲硬幣，每猜對一次的概率都是 0.5, 猜對了贏得 1.25 元，輸了就投入全部沒有，因此，我們有 b=frac{W}{L} = frac{1.25}{1} = 1.25, p, q均為 0.5,L=1, 因此 x=(1.25*0.5 - 0.5)/1.25/1=0.1,從我們實驗的結果可以看到，確實，當風險度為 0.1 的時候，收入最多，與我們之前實驗結果相符。
討論
知道了凱利公式，也許會有讀者會想到，通過凱利公式，完全可以指導我們去做投資，譬如，股票市場，和**差異也不算很大，甚至有人說，股票市場就是一個大賭場。但是，當讀者真的想套用凱利公式的時候，會發現有很大的困難，困難來自於投資的勝率和賠率的不確定性。當我們去投資某支股票的時候，是賺是虧，賺多少，虧多少，並沒有一個確定的值，一個耗時耗力的做法是去做模擬交易或者小資金去投資，根據一段時間後統計投資成功率的結果來決定之後投資比例。但是，一方面這樣的做法相當耗時，另一方面，不同時期，股票市場風格差異，按照彼時投資結果去作為此時投資結果的參考，彼時投資結果是否能正確反應當前市場的風格，可能我們心裡要打一個問號了。那這時候可能讀者就會問，那我們去了解凱利公式有什麼用呢？此時，程序化交易的優勢也就體現出來了。當我們的投資理念確定好之後，用代碼將其建模並回測，完全可以在歷史的不同時間段內進行回測，得到不同市場風格下，策略的勝率和賠率情況，之後，當確定回測結果沒有其他問題的時候，我們就可以按照最佳的投資比例去控制我們利用該策略去投資股票市場的倉位，以期得到最佳的回報。
即便如此，直接套用凱利公式，可能依然是不合適的，在任何時候，我們都需要將風險的意識放在最前面，風險占據的權重可能在我們投資決策中，占據的比例比收益更大，以比較小的風險作為投資決策，可能會更合適。凱利公式考慮的是理論上的勝率賠率，實際情況可能會更差，當考慮到手續費，滑點，回測與實盤其他差異後，實際情況後比回測差基本上是百分百的，因此，我們是不是應該用相比凱利公司更小的風險度作為我們投資的比例呢？
最後，強烈推薦《資金管理方法及其應用》-- 安德烈 昂格爾，如果讀者有時間，有興趣， 強烈推薦大家去仔細研讀參考書籍，對於風險控制，倉位管理，作者給了很好的介紹。另外，海龜交易法的倉位管理，讀者如果閱讀了本文再去看它的倉位管理方式，也許會有更大的收獲。
Ⅹ 21點與凱利公式（期望和概率）
這幾天看完一本講賭局的書《迷失的天才》。這是一個發生在美國的真實故事，說的是一位天才的數學教授在大學生中網羅了一批數學天才，關起門來訓練他們玩21點。然後指揮他們轉戰各個賭場，通過相互間的配合，贏了很多錢，最終又成為各大賭場的黑名單中人與追殺對象，後來這本書被拍成電影《決勝21點》，推薦您看一下。
21點的游戲規則是，大家圍桌而坐，由專人依次發牌，每個人都可根據自己手中的牌點，決定繼續要還是不要。大家都停止要牌後，就攤牌比大小。在21點范圍內，誰大誰就贏，超過21點就算爆掉，為無條件輸家。所有的閑家都可根據自己的意願停止要牌，只有莊家的牌點必須大於16點。在這樣的規則下，剩下的牌中，大點子牌越多，莊家爆掉的可能性越大。因此，這群數學天才們將7計為0點；小於7的牌算作小牌，計為 -1；大於7的算作大牌，計為 1。賭場玩21點一般都以3副牌為一局，3副牌中，小於和大於7的牌都為72張。3副牌共152張，玩到一半時，剩下幾十張牌中，大點子牌佔大多數時，莊家爆掉的可能性就會迅速上升。
因此，他們總是幾人一組裝作誰都不認識誰，進入賭場，由其中的一位先在某一張牌桌上以很小的賭注玩。他的任務是計算剩下的牌中正數與負數的比例。一旦達到理想比例，就發出一個暗號，然後離開牌桌，將座位讓給某一個聞訊前來的同伴。
21點本質上是一個隨機游戲，每個人的輸贏概率理論上均為50%，但由於當牌點一樣大時算莊家贏，因此，莊家實際贏率為51%。
但是，通過上述方式，這幫數學天才可使自己的贏率超過52%。新來的同伴只要在概率更高時加大下注金額，理論上就能贏錢。況且新來的同伴還會根據手中的牌點大小，成倍提高或適當減少下注金額，進一步提高贏的概率。就用這種方法，這群數學天才幾乎橫掃了拉斯維加斯的所有賭場，為自己贏得了相當可觀的財富。
在這場游戲中，最難的是在大家將牌攤開的一瞬間，你能快速而准確地記住已出現過的大牌與小牌數量、計算出這一局還剩多少張牌、大牌與小牌的比例，而且要不動聲色，不能讓人察覺你在觀察其他人攤開來的牌。這需要很高的數學天分。至於玩的方法則非常簡單，說到底就是一個輸贏概率和下注數量：贏的概率越高，下注的數額越大。
如果把下注金額看作股票倉位，那麼在上述例子中，這群數學天才贏就贏在倉位管理上。在一局牌剛開始時，由於閑家贏的概率宏觀上不到49%，因此他們只是以小小的注額試水，也就是以輕倉為主。偶爾拿到一手好牌，比如牌點非常接近於21點時，才稍稍下大一點的注，把倉位提高一點。當剩下的牌局明顯地有利於閑家時，就以重倉為主。當宏觀上贏面居大，微觀上又拿了一手好牌時，就把倉位提高到最大限度。
運營一個賭場，要考慮的是長期的贏利，而非短期的成敗。根本不用在意輸錢，甚至不該害怕連續的輸，因為那是的必要成本。還記得該守不守的 「結果偏好」 嗎？對結果不滿意？要修改規則？種人開不了賭場。
開賭場，不看結果看勝率（expectation）。大可不用管這次能不能賺，只管大家是不是一直賭下去，有沒有贏利的可能。只要有50.001%的勝算，就夠了，這多出來的0.001%，就要靠「一直做」來變現，放到足夠多的交易中，放到足夠長的時間里，就能變成一個天文數字。至於短期的損失，只會吸引更多的賭徒參與賭局，只會使賭局延續更長時間，只會讓我們最終的收益更大。同樣，交易中的虧損並不意味著真的損失，他是誘餌，是必要的成本，是長期的收益。
交易系統中的勝算，叫做期望收益。歷史表現是推測未來期望收益的依據。計算過程有三步：第一，這個系統最初設定的買入價（entry price）和止損退出價（stop loss price）之差是多少。
第二，在最初的價格設定下，最終的交易量是多少，最後得到的收益是多少。
第三，算一算風險投入（risk），用買入價與止損價的差額，乘以最終的交易量。
第四，得到歷史勝算，也就是未來的期望收益（expectation），用最終收益，除以風險投入。優秀的倉位管理技巧都來自賭場經驗。在這方面最為著名的是 凱利公式：
其中，F = 投注金額占總資金的比例；
p = 獲勝的概率；
q = 失敗的概率，即 q = 1-p；
b = 賠率，例如在輪盤中押單個數字，b = 35，押紅黑，b = 1。
假設總賭本1萬元，玩家取勝的概率是51%，賠率1：1，那麼凱利公式給出的最佳賭注是：
10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = 200（元）
公式中分子的b*p - q；代表「贏面」，數學中叫「期望值」(expectation)，凱利公式指出：正期望值的游戲才可以下注，這是一切賭戲和投資最基本的道理，也就是前面講的「沒有把握，決不下注」。贏面還要除以「b」才是投注資金比例。 也就是說贏面相同的情況下，賠率越小越可以多押注。比如出現了三種情況：
a.「小博大」：勝率20%，賠率是5，輸了全光。 b*p - q = 5*20% -80% = 20%
b.「中博中」：勝率60%，1賠1。b*p - q = 1*60% - 40% = 20%
c.「大博小」：勝率80%，1賠0.5。b*p - q = 0.5*80% - 20% = 20%
三個游戲的數學期望值一樣，都是20%，或者說押100元平均贏20元。按大部分國人的賭性，恐怕會選「小博大」游戲吧？但是用凱利公式中的 「b」 一除，「小博大」游戲只能押總資金的4%，「中博中」可以押20%，「大博小」可以押40%。
贏錢速度「大博小」快多了！ 前面不是講過「久賭必贏的游戲應該選波動性小的」嗎？ 說的就是這個了。現實中，愛玩「小博大」的多半是賭客。 誰愛玩「大博小」呢？ 賭場！ 華爾街的職業投資家們很多玩的也是「大博小」，因為便於使用杠桿（押大賭注）。關於這點後面還要詳細講。
最後，凱利公式指明了風險控制的至關重要性：即便是正期望值的游戲也不能押太大的賭注。從數學上講，押注資金比例超過了凱利值，長期的贏錢速度反而下降，還會大大增加出現災難性損失的可能性。舉個極端的例子，如果你每手都押上全部資金，那麼不管你贏過多少錢，只要輸一次就立刻破產。正所謂：辛辛苦苦幾十年，一夜回到解放前。 為什麼投資界賠到傾家盪產的盡是一些局部技術不錯的老手呢？ 原因多半在「賭注太大」。上世紀初有位大宗師級別的投機客一世英名就毀在了這上面。
在2016年有個很火的 「投資產品」 叫做二元期權，實際是一個用期權的規則賭大小的線上賭場，注意，這些線上平台都是違法的，首先資金安全就無法得到保障，賺到錢的投資者無法提現也無處投訴。
二元期權的交易模式是，先選取預測標的，可以是股票、期貨、貴金屬、外匯或者他自己的產品，在該平台指定時間內交易，投資者永遠不需要實質擁有資產，只需要預測資產的走向，價格並不重要，重要的是方向是否能猜正確。就是說你可以預測1分鍾、5分鍾、15分鍾、1小時以後該標的價格的漲跌，用100元作為賭注，預測正確拿到83塊，預測錯誤，損失本金100塊。1分鍾是最短的二元期權交易模式。
這里的貓膩出在哪兒呢，賠率不對等的情況下，要達到正期望值，要做到多少勝率呢？這就要詳細講一下期望值的意思。
換句話說，期望值是在同樣的機會下重復多次的結果計算出的等同「期望」的平均值。再通俗點講， 就是我預期的獲利扣掉我預期的虧損的值，如果計算出來的期望值是正的就代表我能夠長期獲利，相反的如果扣出來的值是負的，那我就會長期虧損。
可能還是不好理解，咱們來舉個例子說說就很清楚了。
比如賭場押骰子，一般都是三顆骰子，點數加起來小於等於10，就算小，大於等於11，就算大。然後讓玩家自己選擇押大還是押小。
好，請回答一個問題，你認為在這個押大小的游戲中，玩家和賭場的勝率是否都是50%？
我相信絕大多數的人會說是！
在這樣的情況下，的確是，但這個押大小的游戲一般還有一個條件，如果三個骰子出現的點數一樣，比如三個1、三個2等，俗稱豹子，這時候就是莊家通殺，算莊家贏。
貓膩就在這兒了，很多人會說，這才多大點概率。的確，這個概率很小，才2.77%。但正是因為這個2.77%的概率存在，讓賭場和玩家之間的勝率變成了玩家48.61%，賭場51.39%。可別小看這點差異，接下來我們就來看看期望值是如何計算的。
假設每次玩家押100元，玩家的預期獲利就是 100 x 48.61%，預期虧損則是 100 x 51.39%，也就是說在押大小這個游戲玩家的期望值計算方式如下：
押大小期望值：100 x 48.61% - 100 x 51.39% = -2.78
這代表什麼意思呢？ 就是說每當玩家投注100元在押大小這個游戲上時，平均會損失2.78元 ，雖然短期內可能連續獲利或連續虧損，但只要押注的次數越多，時間長了就會非常趨近這個數字。
比如說玩家玩了1000次押大小，一次平均虧損2.78元，1000次後結果就會非常接近虧損2780元！不信？你可以自己在家中試驗下。
解釋完這個例子，我想你也肯定已經知道了，為什麼十賭九輸，為什麼賭場根本就不用出千耍花樣照樣能賺錢。因為這在游戲規則上，靠著期望值和大數法則，就已經讓莊家穩賺不賠。
咱們言歸正傳，說押大小的例子， 在咱們二元期權中，又該如何計算看待這個期望值。 咱們再來舉個例子，假設小明是個二元期權交易者，他每次都投資100元，他賭贏的概率 大概在50%（拋硬幣的概率） ，小明的賠率為83%，二元期權交易 期望值 如下：
二元期權期望值：83 * 50% - 100 * 50% = -8.5
也就是說以小明平均50%的做單勝率，每次投資100元在二元期權時，平均虧損8.5元。
假設小明一天下了十次單，那他當天的虧損將會趨近於85元。因為概率的隨機性，也有可能小明會連續好幾天是盈利的，但 長期下來小明在二元期權交易中必然是虧損的。
我們用已知的賠率反推概率，又是什麼情況？假設，小明的二元期權交易期望值為零，也就是盈虧平衡狀態：
二元期權期望值：83 * x - 100 *（1 - x）=0
直接告訴大家， 54.6% 。只要你的做單勝率長期維持在54.6%以上，就能持續盈利。二元期權交易平台比賭場要狠多了。
所以，別以為自己運氣有多好，先靜下心來好好統計下自己的做單勝率到底是多少。富人和窮人思維的本質區別是富人思維懂得用概率思維來解題，而窮人不斷的繳納 智商稅， 所有智力競技游戲的核心都是概率。